Algebra Lineal, Vectores.

Ministerio de educación superior

Universidad Alejandro De Humboldt

Facultad de ingeniería – escuela de ing. Informática

Catedra: Algebra lineal

Sección BQN0210CBII

TALLER 2 VECTORES

Alumno

EUQUERIO SALAS v-15587064

Caracas 21 de marzo de 2014

1. Demostrar que si dos vectores linealmente  dependiente, uno de ellos es múltiplo escalar del otro

TEOREMA

Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si y solo si uno es multiplo escalar del otro. Es decir, dos vectores u, v son linealmente dependientes si, y solo si existe un escalar α tal que u = αv.

DEMOSTRACION

                        [pic 1]

Ejemplo

Los vectores   y  son linealmente dependiente de acuerdo al teorema, son linealmente dependiente si existe un α tal que:[pic 2][pic 3]

  =  →  =   → [pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8]

Ejercicio 2

Demostrar que los vectores  m(1,0,-1); r(1,2,1); w(0,-3,2) forman una base de R3 exprese cada uno de los vectores de la base canonica, como combinación lineal de m, r, w

Verificaos q sean linealmente independiente, llevándolo a su forma matricial y sacando determinante

A= DET(A)== 10 → 10  ≠ 0; son independiente los vectores rg(A)=3[pic 9][pic 10]

Sean los vectores e1, e2, e3 los vectores de la base canonica en R3 es decir e1(1,0,0); e2 (0,1,0); e3(0,0,1) debemos encontrar las coordenadas de e1, e2 y e3 en en la base B{m(1,0,-1); r(1,2,1); w(0,-3,2)}

Solución para e1

      e1 (1,0,0)= (α1 m(1,0,-1) + α2 r(1,2,1) + α3 w(0,-3,2))

        e1 (1,0,0)= α1+ α2, 2 α2 -3α3, α1+ α2 +2 α3

Entonces tenemos el sistema de ecuación

[pic 11]

Llamaremos  α1 = X; α2=Y; α3=Z teniendo asi

[pic 12]

Despejamos Y en ecuación “a” entonces x=1-y;

Despejamos Y en ecuación “b” entonces z=(2/3)Y

Sustituimos esas ecuaciones despejada en la ecuación “c” entonces nos queda

(y-1)+y+2(2/3y)=0→y=3/10

Sustituimos en el primer despeje donde x=1-y →x=1-(3/10)=7/10;

Sustituimos el valor de “y” en el despeje de “b” donde z=(2/3)Y → z=(2/3)(3/10)=1/5

Entonces devolvemos el cambio α1 = X; α2=Y; α3=Z, teniendo entonces α1 = 7/10; α2=3/10; α3=1/5;

Por ende las coordenadas en e1 con respecto a la base es (7/10,3/10,1/5)

Solución para e2

      e2 (0,1,0)= (α1 m(1,0,-1) + α2 r(1,2,1) + α3 w(0,-3,2))

        e2 (1,0,0)= α1+ α2, 2 α2 -3α3, α1+ α2 +2 α3

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