Espacios vectoriales/ transformaciones lineales

Instituto Tecnológico Superior de Nuevo Casas Grandes

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ALGEBRA LINEAL

Espacios vectoriales/ transformaciones lineales

Integrantes:

Cesar Armando Ayala Rodriguez           #15CG0046

Irania Espinoza Bencomo                        #15CG0378

30-noviembre- 2016

Espacio vectorial

Es un conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicación por un escalar y que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación.

 Notación. Si “x” y “y” están en V, y si a es un número real, entonces la suma se escribe como

 “x + y” y el producto escalar de a y x como ax.

 Antes de presentar la lista de las propiedades que satisfacen los vectores en un espacio vectorial deben mencionarse dos asuntos de importancia. En primer lugar, mientras que puede ser útil pensar en R2 o R3 al manejar un espacio vectorial, con frecuencia ocurre que el espacio vectorial parece ser muy diferente a estos cómodos espacios (en breve tocaremos este tema). En segunda instancia, la definición 1 ofrece una definición de un espacio vectorial real. La palabra “real” significa que los escalares que se usan son números reales. Sería igualmente sencillo definir un espacio vectorial complejo utilizando números complejos en lugar de reales. Este libro está dedicado principalmente a espacios vectoriales reales, pero las generalizaciones a otros conjuntos de escalares presentan muy poca dificultad.

DEFINICION DE SUB ESPACIO VECTORIAL

Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un sub espacio de V.

Existen múltiples ejemplos de sub espacio, sin embargo, en primer lugar, se demostrará un resultado que hace relativamente sencillo determinar si un subconjunto de V es en realidad sub espacio de V

Teorema de sub espacio

Un subconjunto no vacío de H de un espacio vectorial V es un sub espacio de V si se cumplen las dos reglas de cerradura:

Reglas de cerradura para ver si un subconjunto no vació es un sub espacio

i)                  Si x € H y y € H, entonces x + y € H.

ii)               Si x € H, entonces αx € H para todo escalar α.

Es obvio que si H es un espacio vectorial, entonces las dos reglas de cerradura se deberán cumplir. De lo contrario, para demostrar que es un espacio vectorial, se deberá demostrar que los axiomas i) a x) de la definición cumplen bajo las operaciones de suma de vectores y multiplicación por un escalar definidas en V. Las dos operaciones de cerradura [axiomas i) y iv)] se cumplen por hipótesis, como los vectores en H son también vectores en V, las identidades asociativa, conmutativa, distributiva y multiplicativa [axiomas ii), v), vii), viii), ix) y x)] se cumplen.

Este teorema demuestra que para probar si H es o no es un sub espacio de V, es suficiente verificar que:

x + y y αX están en H cuando x y y  están en H y α es un escalar.

PROPIEDADES DE SUB ESPACIO VECTORIAL

 1). El vector cero de V está en H.2

 2). H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada u y v en   

      H, la suma u + v está en H.

 3). H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada

     u en H y cada escalar c, el vector cu está en H. 

Combinación lineal

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por escalares.

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección.

Esta combinación lineal es única.

Sean v1,v2,…,vn vectores en un espacio vectorial V. Entonces cualquier vector de la forma:

α1v1+α2v2+…+αnvn

donde α1v1+α2v2+…+αnvn son escalares se denomina combinación lineal de v1,v2,…,vn.

Todo vector V = (a, b, c) en R3 se puede expresar como

i = (1,0,0);

j = (0,1,0);

k =(0,0,1)

V = (a, b, c) = a(i) + b(j) + c(k)

Entonces se dice que V es una combinación lineal de los 3 vectores i,j,k.

Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.

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a1 = a2 = ··· = an = 0

Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.

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BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL:

Una base es un conjunto de vectores linealmente independientes y que son capaces de generar cualquier vector de dicho espacio. En nuestro estudio del plano, una base estará formada por dos vectores linealmente independientes.

COORDENADAS DE UN VECTOR RESPECTO DE UNA BASE:

Las coordenadas de un vector respecto de una base son los escalares por los que hay que multiplicar los vectores de la base de forma que representen al vector dado mediante una combinación lineal de dichos vectores de la base.

DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL

Se llama dimensión de un espacio vectorial V al número de vectores que hay en cualquiera de sus bases. Se denota dim (V).La dimensión de Rn con las operaciones normales es n.

La dimensión de Pn con las operaciones normales  es n+1.

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