Espacios Vectoriales

1) Indique  la veracidad  o falsedad de las siguientes  proposiciones,  justifique  su respuesta. a.  R2  dotado  de las operaciones suma y multiplicaci´on por un escalar definidas por:

(x1 , x2) ⊕ (x2 , y2) = (x1  + x2 , y1 + y2)

α ⊗ (x1, x2 ) = (αx1, 0)

es un espacio vectorial  real.

b.  El conjunto  de puntos  en el segundo cuadrante del plano cartesiano  con la suma y multiplicaci´on por un escalar usual en R2, es un espacio vectorial  real.

( x1 + x2  = 1

c. El conjunto  solucion del sistema

x3 + x4  = 0

es un subespacio  vectorial  de R4.

d.  La uni´on de subespacios  vectoriales  de un espacio vectorial  V , es un subespacio  de

V .

e. El conjunto  de polinomios  de grado  menor  o igual que 5, con coeficientes enteros, es un subespacio  de P5.

f. Sea (V, +, ·)  un  espacio  vectorial.    Si S  y T  son  subconjuntos de  V   linealmente

independientes, entonces  S ∪ T es un conjunto  linealmente  independiente.

g. Un conjunto  de 5 polinomios de grado menor o igual que 3 no puede generar  a P3. h.  Sean H y W dos subespacios vectoriales de V  con base B1  = {v1, v2} y B2  = {v2, v3 },

respectivamente, entonces  B = {v2} es base de H ∩ W .

2) Determine  si el conjunto

con las operaciones:

( a    b!

V  =

c   0

)

: a ∈ R+ , b, c ∈ R

 a1     b1 !

c1      0    ⊕

 a2     b2!

=

c2      0

   a1a2         b1 + b2 + 7!

c1 + c2                0

 a    b!

α                =

c   0

 αa    αb + 7α − 7!

αc             0

es un espacio vectorial  real.

3) Determine  cuales de los siguientes  subconjuntos son subespacios  vectoriales  del espacio vectorial  dado con las operaciones usuales.

a.  A = {p ∈ Pn (R)/p0(0) + p00 (0) = 0}, Pn (R).

b.  B = {(x, y, z) ∈ R3  : x2 + y2 + z2 = 0}.

c. W =

(

A = (aij )3×3 ∈ M3×3(R) : aij =

( 1      si j = 4 − i

0    en otro caso

)

, M3×3 (R).

4) ¿Para  qu´e valores de α y β es G = {p ∈ P2  : p(0) = α, p0(0) = β} un subespacio vectorial de P2?

5) Determine  valores de α y β para  que en R3,

gen{(−1, 5, 4), (α, −2, −2)} = gen{(β, 3, 2), (5, 1, 0)}

.

6) Decida,  justificando  su  respuesta,  cu´ales  de  los siguientes  conjuntos   son  linealmente independientes:

a.  En C [0, 1], {ex, e−x}. 

b.  En C [0, 1], {x, √x, √3  x}.

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