Espacios vectoriales

1. Determine si los ejemplos siguientes son subespacios. Justifique su respuesta.

(a)

S1 := {(x, y) ∈ R

2

| 2x + 3x · y = 0}

(b)

S2 := {(x, y, z) ∈ R

3

| 3x − 2y + z + 1 = 0}

(c)

S3 := {(x, y) ∈ R

2

| 2x − 3y = 0}

(d)

S4 := {(x, y, z) ∈ R

3

| 3x − 2y + z = x + y + z = 0}

(e)

S5 := {(x, y, z, w) ∈ R

4

|

2x + y − z + 2w = 0

3x + 2y + z − 4w = 0

x + y + 2z − 6w = 0

}.

(f)

S6 := {(x1, x2, x3, x4) ∈ R

4

|

x1 + x2 + x3 − x4 = 0

x1 − x2 + x3 + x4 = 0

2x1 + 2x3 = 0

x1 + x2 − x3 = 0

}.

(g)

S7 := {A ∈ R

2×3

| a11 + 2a23 = −a22 + 4a12 + a21 = 0}

(h)

S8 := {A ∈ R

3×3

| aij = 0, para 1 ≤ j < i ≤ 3}

.

2. En los ejemplos del ejercicio 1 que son subespacios, encontrar su forma param´etrica y determinar una base.

3. En los siguientes ejemplos, encontrar una base de los subespacios dados.

(a)

S1 =< (2, 1, 1, 3),(−1, 1, 0, 3),(0, 3, 1, 9),(0, 0, 1, 1) >,

(b)

S2 =< (1, 4, 3),(−1, 2, 3),(0, 2, 1),(−1, 0, 0) >,

(c)

S3 =< (−1, 2, 1, 0, 3),(−2, 3, 4, −1, 0),(−1, 1, 3, −1, −3),(2, −2, −6, 2, 6) >,

(d)

S4 =< (0, 0, 2, 1),(1, −3, 1, 0),(−1, 2, 1, 2),(0, −2, 4, 4) > .

4. Encontrar las coordenadas del vector v en la base dada.

(a) En V1 = R

3

, v1 = (1, −1, 1) y B1 = {(1, −1, 0); (−1, −1, 0); (0, 0, 1)}.

(b) En V2 = R

4

, v2 = (3, 2, 1, 0) y B2 = {(0, 0, 1, 0); (0, 1, 0, 0); (0, 0, 0, 1); (1, 0, 0, 0)}.

(c) En V3 = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R

4

| x1 − x2 + x3 + 2x4 = 0}, v3 = (1, 1, 2, −1) y B3 =

{(1, −1, 0, 0); (1, 0, −1, 0); (2, 0, 0, −1)}.

5. Calcular una base de la intersecci´on de los siguientes subespacios.

(a) S1 = {(x, y, z) ∈ R

3

| x+2y−3z = 2x+3y = 0} y T1 = {(x, y, z) ∈ R

3

| 3x+5y−3z = 0}.

(b) S2 = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R

4

| x1 − x2 + x3 + 2x4 = −2x1 + x2 − 3x3 − x4 = 0} y

T2 = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R

4

| 2x1 + x2 − 2x3 + x4 = 0}.

(c) S3 = {(x1, x2, x3, x4, x5) ∈ R

5

| x1 + 3x2 − x4 + 2x5 = x1 − x3 + 6x4 − x5 = 0} y

T3 = {(x1, x2, x3, x4, x5) ∈ R

5

| x1+x2+3x3−2x4+x5 = 3x1+4x2−6x3+x4+x5 = 0}.

(d) S4 =< (1, −1, 2, 3),(1, 1, 2, −1),(0, 2, 1, 1),(2, 2, 5, 3) > y T4 = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R

4

|

x1 + x2 − x3 = x1 + x4 = 0}.

(e) S5 =< (−1, 1,

...