Espacios Vectoriales

ESPACIOS VECTORIALES

La idea de vector está tomada de la Física, donde sirven para representar magnitudes vectoriales como fuerzas, velocidades o aceleraciones. Para ello se emplean vectores de dos componentes en el plano, de tres componentes en el espacio...

Se supone conocida la representación gráfica y manejo de los vectores de R2 y de R3.

En Matemáticas, tratamos de abstraer las propiedades que caracterizan a los vectores para extenderlas también a otro tipo de objetos diferentes de los vectores de la Física.

Esencialmente, el comportamiento que caracteriza a los vectores es el siguiente:

• Podemos sumar dos vectores y obtenemos otro vector;

• Podemos multiplicar un vector por un número (escalar) y obtenemos otro vector.

Además estas operaciones cumplen ciertas propiedades, que observamos en los vectores de R2 y de R3:

En lo sucesivo, utilizaremos habitualmente la siguiente notación: u, v, w (u otras letras latinas) para vectores, mientras que las letras griegas designarán escalares.

Propiedades de la suma de vectores.

• Asociativa: (u + v) + w = u + (v + w)

• Conmutativa: v + u = u + v.

• Existe un elemento neutro, el vector 0, tal que 0 + v = v para cualquier vector v.

• Para cada vector v existe un elemento opuesto, -v, que sumado con él da 0.

Propiedades del producto de un vector por un escalar.-

• Asociativa: β (α v) = (β α) v

• Distributivas:

 Respecto de la suma de escalares: (α + β) v = α v + β v

 Respecto de la suma de vectores: α (u + v) = α u + α v

• Existe un elemento unidad: el escalar 1, tal que 1• v = v para cualquier vector v.

Definición: Espacio Vectorial.-

Cualquier conjunto que posea unas operaciones suma y producto por escalares, cumpliendo todas las propiedades anteriores, diremos que es un espacio vectorial. Los elementos de tal conjunto se llamarán vectores (aunque pueda tratarse de objetos diferentes a los vectores de la Física.)

Diremos que el espacio vectorial es real o complejo, según sean los escalares.

Otras propiedades de los espacios vectoriales pueden deducirse de las anteriores propiedades básicas. Por ejemplo:

Si α v = 0 (α escalar, v vector) entonces o bien es α = 0 o bien es v = 0.

Ejemplos de espacios vectoriales.

1) El espacio R, formado por los vectores de n componentes (x1, ...,xn) es un espacio vectorial real, en el que se pueden sumar vectores y multiplicar por un escalar (real) de la forma habitual.

Se puede comprobar que se cumplen las propiedades requeridas para ambas operaciones. El vector cero es (0,...,0).

No es un espacio vectorial complejo, pues no podemos multiplicar por escalares complejos (si lo hacemos, el resultado no se mantendrá dentro de 91").

2) Consideremos el conjunto P2 de los polinomios de grado ≤ 2 con coeficientes reales:

P2 = {ax2 + bx + c: a, b, c ϵ R}

Es un espacio vectorial real, pues podemos sumar dos elementos de P2 y obtenemos otro elemento de P2; también podemos multiplicar un elemento de P2 por un escalar real y obtenemos otro elemento de P2. Veámoslo:

 Suma: (ax2 + bx + c) + ( a’x2 + b’x + c’) = (a + a’) x2 + (b + b’) x + (c + c’) que pertenece a P2.

 Producto por un escalar real: λ ϵ R, λ (ax + bx + c) = λax2 + λbx + λc que pertenece a P2.

Se puede comprobar que se cumplen las propiedades requeridas. El vector 0 es el polinomio cero: 0x2 + 0x + 0

No es un espacio vectorial complejo, pues al multiplicar por un escalar complejo el resultado podrá ser un polinomio complejo que no pertenece a P2.

3) Consideremos el conjunto G de los polinomios de grado = 3 (exactamente 3) con coeficientes reales.

No es un espacio vectorial (real ni complejo), pues al sumar dos elementos de G, no está garantizado que el resultado esté en G. En efecto, consideremos los polinomios

p = x3+x2+x+1, q = –x3+x2+x+1

Pertenecen a G, pues su grado es 3. Pero su suma es p + q = 2x2+2x+2 que no pertenece a G (su grado no es 3).

4) Consideremos el conjunto M2x2 (también denotado por M2) de las matrices 2x2 con términos reales:

Es un espacio vectorial real, pues podemos sumar dos matrices de M2x2 obteniendo otra matriz de M2x2, y multiplicar una matriz de M2x2 por un escalar real obteniendo otra matriz de M2x2. Se puede comprobar que se cumplen las propiedades. El vector 0 es, en este caso, la matriz con todos sus términos nulos.

No es un espacio vectorial complejo.

5) Consideremos el conjunto MC de las matrices 2x3 con términos complejos.

Es un espacio vectorial real, pues podemos sumar dos matrices de MC obteniendo otra matriz de MC, y multiplicar un elemento de MC por un escalar real obteniendo otra matriz de MC.

También es un espacio vectorial complejo, pues podemos multiplicar una matriz de MC por un escalar complejo obteniendo otra matriz de MC.

(Compruébese con elementos genéricos).

6) Consideremos el conjunto ME de las matrices 3x2 con términos enteros.

Podemos sumar dos matrices de ME y obtenemos otro elemento de ME:

Sin embargo ME no es un espacio vectorial real, pues al multiplicar un elemento de ME por un escalar real no está garantizado que el resultado permanezca dentro de ME. Si el escalar es p.ej. el número real 1.25, el resultado ya no es una matriz con términos enteros.

Por similar razón tampoco es un espacio vectorial complejo.

7) El conjunto C de los números complejos se puede considerar como un espacio vectorial real. En efecto, se pueden sumar dos números complejos obteniéndose otro número complejo; y se puede multiplicar un complejo por un escalar real, obteniéndose otro complejo. Es decir,

 Suma: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i, que es otro número complejo.

 Producto por un escalar real: Xe 91, λ (a + bi) = λ a + λ bi que es otro número complejo.

La suma y el producto por un escalar cumplen todas las propiedades requeridas. En este caso el vector 0 es el número complejo cero, 0+0i.

Nótese que aquí los complejos funcionan como vectores (elementos del espacio vectorial C) y los reales como escalares.

Observar además que, en este contexto, el conjunto de los números complejos se comporta igual que el espacio vectorial R2, identificando el número complejo a + bi con el vector (a, b).

Este es el motivo por el cual se suele representar el plano complejo como si fuera R2, con la parte real en el eje de abscisas y la parte imaginaria en el eje de ordenadas.

8) El conjunto de las funciones continuas definidas en R: Se pueden

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