Espacios Vectoriales

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Actividad 4.1

Espacios Vectoriales

Nombre:Efrain Acosta Parra                     Grupo:11

Responda el siguiente cuestionario

1. ¿Qué es un espacio vectorial?

Cualquier conjunto que satisface estas pro

piedades (o axiomas) se denomina espacio vectorial y los elementos del conjunto se

denominan vectores

1. ¿Cuáles son las dos operaciones básicas de un espacio vectorial?

                      La suma y multiplicación por un escalar

1. Enumera y describe los 10 axiomas que debe cumplir de un espacio vectorial

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1. ¿Cuáles son las características particulares de un espacio vectorial de dos dimensiones (R2)?

   Considere el conjunto de todos los pares ordenados de números reales en R2.                                                      Los vectores

en este espacio tienen la forma

 v( v1, v2) .

1. Proporcione un ejemplo de un espacio vectorial de dos dimensiones (R2)

, es el plano cartesiano. En este espacio, cada vector se puede representar como un par ordenado de números reales (x, y).

Por ejemplo, consideremos los vectores v₁ = (1, 2) y v₂ = (3, 4) en R². Podemos realizar operaciones como la suma y la multiplicación por escalares en este espacio.

La suma de v₁ y v₂ se define como:

v₁ + v₂ = (x₁ + x₂, y₁ + y₂) = (1 + 3, 2 + 4) = (4, 6)

Y la multiplicación del vector v₁ por un escalar (por ejemplo, 2) se define como:

2 * v₁ = 2 * (1, 2) = (2 * 1, 2 * 2) = (2, 4)

1. ¿Cuáles son las características particulares de un espacio vectorial de tres dimensiones (R3)?

Base canónica: En R³, la base canónica está definida por los vectores unitarios (de magnitud 1) i, j, k. Donde i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1). Estos son los vectores cartesiano

Conmutatividad: u + v = v + u

Transitividad: (u + v) + w = u + (v + w)

Existencia del vector nulo: Existe un vector 0 tal que 0 + v = v

1. Proporcione un ejemplo de un espacio vectorial de tres dimensiones (R3).
2. ¿Qué es un subespacio vectorial?

Un subconjunto no vacío W de un espacio vectorial se denomina subespacio de V si

W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación escalar

definidas en V

1. Enumera y describe los axiomas que debe cumplir de un subespacio vectorial

1. Conmutabilidad: u +v = v +u

2. Transitividad: (u + v) + w = u + (v + w)

3. Existencia del vector nulo 0 tal que 0 + v = v

4. Existencia del opuesto: el opuesto de v es (-v), ya que v + (-v) = 0

5. Distributividad del producto respecto a la suma vectorial: α (u + v) = αu +αv

6. Distributividad del producto respecto a la suma escalar: (α + β)v = αv +βv

7. Asociatividad del producto de escalares: α (β v) = (α β)v

8. El número 1 es el elemento neutro, ya que: 1v = v

1. ¿Qué es una combinación lineal de vectores?

Sean 𝑣1, 𝑣21 … … 𝑣𝑘…. vectores en 𝑅𝑛. Una expresión de la forma

w1 = 𝑎1𝑣1 + 𝑎2𝑣2 + ……+𝑎𝑘𝑣𝑘 donde 𝑎1, 𝑎2, … . 𝑎𝑘    son escalares, se denomina

Combinación Lineal de los vectores 𝑣1 , 𝑣2 ……𝑘

1. De un ejemplo de combinación lineal.

Suponga que se tienen los siguientes vectores: 𝑣1 = (1, −2) y 𝑣2 = (2,3) . Encuentre el vector 𝑤1 =

2𝑣1 + 3𝑣2 De manera algebraica:

1 = 2𝑣1 + 3𝑣2 y sustituyendo tenemos que: �

w1 = 2(1, −2) + 3(2,3)

w1 = (2, −4) + (6,9)

w1 = (8,5) De manera gráfica usando la ley del paralelogramo, tenemos que

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Entonces podemos decir que el vector 𝑤1 es una combinación lineal de 𝑣1 𝑦 𝑣2,  es decir:

w1 = 2𝑣1 + 3𝑣2

1. ¿Qué es un sistema o conjunto generador?

Sea S  {v1, v2, . . . , vk} un subconjunto del espacio vectorial V. El conjunto S se

denomina conjunto generador de V si todo vector en V puede expresarse como una

combinación lineal de vectores en S. En estos casos se dice que S genera a V.

1. ¿Qué es la independencia lineal de vectores?

Es  la propiedad de un conjunto de vectores en el que ninguno de ellos puede ser expresado como una combinación lineal de los demás.

1. De un ejemplo de independencia lineal

El conjunto S  =(1,2),(2,4) en R2 es linealmente dependiente porque -2(1,2)+(2,4)=(0,0

1. ¿Qué es la dependencia lineal de vectores?

Un conjunto de vectores S

 {v1, v2, . . . , vk} en un espacio vectorial V se denomina

linealmente independiente si la ecuación vectorial.

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