Espacios vectoriales

Espacios vectoriales

un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo ), con 8 propiedades fundamentales.

Se quiere probar que es un espacio vectorial sobre

Si juega el papel de y el de :

Los elementos:

Son, de forma genérica:

Es decir, pares de números reales. Por claridad se conserva la denominación del vector, en este caso u, en sus coordenadas, añadiendo el subíndice x o y para denominar su componente en el eje x o y respectivamente

En se define la operación suma:

Donde:

Y la suma de u y v sería:

Donde:

Esto implica que la suma de vectores es interna y bien definida.

La operación interna suma tiene las propiedades:

1) La propiedad conmutativa, es decir:

2) La propiedad asociativa:

3) tiene elemento neutro :

4) tenga elemento opuesto:

La operación producto por un escalar:

El producto de a y u será:

Donde:

Esto implica que la multiplicación de vector por escalar es externa y aun así está bien definida.

5) tenga la propiedad asociativa:

Esto es:

6) sea elemento neutro en el producto:

Que resulta:

Que tiene la propiedad distributiva:

7) distributiva por la izquierda:

En este caso tenemos:

8) distributiva por la derecha:

Que en este caso tenemos:

Queda demostrado que es espacio vectorial.

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