Espacios Vectoriales

Tecnológico de estudios superiores de Coacalco

Algebra lineal

Espacios Vectoriales

Cecilia Quintanar Cortes

Trabajo de investigación

Ingeniería Mecatrónica

5211

03/07/2013

introduccion

Espacios vectoriales de dimensión finita.

Son el conjunto de soluciones de un sistema homogéneo de ecuaciones lineales .

Un sistema de ecuaciones lineal y homogéneo siempre es compatible. En el caso de que haya infinitas soluciones, deberíamos intentar manipular dicho conjunto.

Profundizar en su estructura, saber manejar espacios vectoriales dentro de un espacio mayor a través de sus sistemas de ecuaciones, relaciones entre ellos (sumas e intersecciones), o dar conjuntos básicos de elementos que, de algún modo, permitan obtener todas las respuestas posibles.

Indice

Espacios vectoriales……………………………………………….…………..4

Subespacios vectoriales…………………………………………….………..5

Combinacion lineal……………………………………………………….…….6

Dependecia e independencia lineal………………………………..…10

Bases……………………………………………………………………………......12

Espacio nulo o nulidad ………………………………………………….…14

Conclusion ………………………………………………………………….…...15

Bibliografia……………………………………………………………………….16

Espacios Vectoriales

Un espacio vectorial real es un conjunto de V con dos operaciones básicas adición entre vectores y multiplicación por un escalar, que satisfacen los siguientes axiomas:

1. Ley de cerradura Si u y v son elementos cualquiera en V, entonces u + v pertenece a V

2. Ley conmutativa u + v = v + u

3. Ley Asociativa u + (v + w) = (u + v) + w

4. Elemento neutro para la suma Existe un elemento 0 en tal u

que u + 0 = 0 + u = u, para todo valor de u.

5. Elemento Simétrico o Negativo Para cada u en V existe un elemento – u en V t al que u + (-u)=0

6. Ley de cerradura Si u es cualquier elemento de V y c es cualquier número real, entonces c.u pertenece a V

7. Ley Distributiva c (u + v) = cu + cv , para todo

real c y todo elemento u y v en V. V

8. Ley Distributiva (c+d) u = cu + du

para todo número real c y d, y todo elemento u en V.

9. Ley asociativa de la multiplicación c.(du) = (cd) u para todo número real c y d

y todo elemento u en V.

10. Elemento neutro de la multiplicación 1u =u, para u en V.

Sub-espacios Vectoriales

Sea un espacio vectorial sobre el campo F. Un subespacio vectorial de es un subconjunto de tal que es espacio vectorial sobre F con las mismas operaciones definidas en , es decir que cumple las 8 propiedades de espacio vectorial.

Teorema (de caracterización) Sea un espacio vectorial sobre F, W es subespacio vectorial de si y solo si se cumplen las siguientes propiedades:

1.

2.

Demostración

Es evidente, porque las operaciones y son operaciones en .

Las 8 propiedades de espacio vectorial se cumplen en porque se cumplen en .

Corolario Un subconjunto no vacío de es subespacio vectorial si y solo si, para cada y para cada se cumple

.

COMBINACIÓN LINEAL

Sean v1, v2, …, vn, vectores en un espacio vectorial V. entonces cualquier vector de la forma: a1v1+a2v2+…+anvn, donde a1,a2,…,an son escalares se denomina una combinación lineal de v1, v2,…,vn.

Una combinación lineal en M23

Conjunto generador.

Se dice que los vectores v1, v2, …, vn de un espacio vectorial V generan a V si todo vector en V se puede escribir como una combinación lineal de los mismo. Es decir, para todo vÎV, existen escalares a1, a2, …, an tales que v=a1v1+a2v2+…+anvn

Cuatro vectores que generan a M22

Espacio generado por un conjunto de vectores.

Sean v, v2, …, vk, k vectores de un espacio vectorial V. el espacio generado por {v1, v2, …, vk} es el conjunto de combinaciones lineales v1, v2, …, vk. Es decir donde a1, a2, …, ak, son escalares arbitrarios.

Teorema: si v1, v2, …, vk son vectores en un espacio vectorial V, entonces gen{v1, v2, …, vk} es un subespacio de V.

Ejemplo: el espacio generado por dos vectores en R3

Sea v1=(2,-1,4) y v2=(4,1,6). Entonces H=gen{v1, v2}={v:v=a1(2,-1,4)+a2(4,1,6)}. ¿Cuál es la apariencia de H? si v=(x, y,z)ÎH, entonces tiene x=2a1+4a 2, y=-a1+a2 y z=4a 1+6ª 2. Si se piensa que (x, y, z) esta fijo, entonces estas ecuaciones se pueden ver como un sistema de tres ecuaciones con tres incognitas a1, a2. Este sistema se resuelve en la forma usual:

INDEPENDENCIA LINEAL

En el estudio del algebra lineal, una de las ideas centrales es la de dependencia o independencia lineal de los vectores. En esta sección se define el significado de independencia lineal y se muestra su relación con la teoría de sistemas homogéneos de ecuaciones y determinantes.

Existe una relación espacial entre los vectores , se puede apreciar que v2=2v1; o si se escribe esta ecuación de otra manera. 2v1-v2=0.

En otras palabras, el vector cero se puede escribir como una combinación no trivial de v1 y v2 (es decir, donde los coeficientes en la combinación lineal no son ambos cero).

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