Espacios vectoriales.

UNIVERSIDAD “SANTA CLARA DE ASÍS”

Facultad de Ciencias de la Salud

Trabajo de Investigación

Tema:

• Espacios vectoriales. Definición. Propiedades.

• Sus espacios. Propiedades.

• Combinaciones lineales.

• Espacio generado.

• Independencia lineal.

• Base y dimensión.

• Coordenadas y cambio de base.

Catedrático:

Prof. Lic. Walter Cuquejo

Autoras:

• Ramona Sotelo

• María Eva Molinas

• Delsy Coronel

• Mariana Gutiérrez

• Magno Álvarez

Curso: 2°

Carrera: Lic. en Informática

Caaguazú – Paraguay

Año 2013

INDICE

INDICE 2

INTRODUCCIÓN 3

1. PRODUCTO DE VECTORES 4

1.1. Concepto 4

1.2. Ejemplo: 4

1.3. Ejercicio 5

Calcular el producto vectorial de los vectores = (1, 2, 3) y = (−1, 1, 2). 5

2. Producto de Escalar 5

2.1. Concepto 5

2.2. Ejemplo 6

2.3. Ejercicios 6

3. MODO DE UN VECTOR 7

3.1. Propiedades de Producto Escalar 7

3.2. Proyección de un vector 8

3.3. Producto escalar en el plano 8

3.4. Producto vectorial de dos vectores 9

3.5. Producto mixto 11

3.6. Doble producto vectorial 12

CONCLUSIÓN 15

BIBLIOGRAFÍA 16

INTRODUCCIÓN

En el presente trabajo estaremos analizando varias facetas de las ecuaciones matemáticas, una de ellas el producto de vectores, el producto escalar, el modo de un vector, las propiedades de producto escalar, la proyección de un vector, el producto escalar en el plano, el producto vectorial de dos vectores.

Así también veremos los conceptos del producto mixto, el doble producto vectorial. En cada de uno de estos puntos citados, analizaremos su concepto, valoraremos el ejemplo de cada uno y se darán algunos pequeños ejercicios prácticos para su mayor entendimiento.

Todos estos conceptos son muy importantes porque nos ayuda a reflexionar y a razonar mejor en los números y los problemas surgidos en las matemáticas.

A continuación más detalles en las páginas siguientes.-

1. PRODUCTO DE VECTORES

1.1. Concepto

Es la Multiplicación de dos vectores para producir un vector. También llamado producto vectorial de Gibbs, es una operación binaria entre dos vectores en un espacio tridimensional. El resultado es un vector perpendicular a los vectores que se multiplican, y por lo tanto normal al plano que los contiene.

El producto de los vectores A y B (generalmente escrita como A×B) es un vector cuya magnitud es |A||B|sen , en donde |A| y |B| son las magnitudes de A y B y es el ángulo entre A y B. La dirección del vector resultante apunta en la dirección en la que un tornillo de cuerda derecha se movería al pasar del vector A al vector B. Se encuentra en ángulo recto con respecto a ambos, A y B.

1.2. Ejemplo:

El producto vectorial de los vectores y se calcula del siguiente modo:

Expandiendo el determinante:

Dando como resultado:

Puede verificarse fácilmente que es ortogonal a los vectores y efectuando el producto escalar y verificando que éste es nulo (condición de perpendicularidad de vectores).

1.3. Ejercicio

Calcular el producto vectorial de los vectores = (1, 2, 3) y = (−1, 1, 2).

Solución:

2. Producto de Escalar

2.1. Concepto

También conocido como producto interno, producto interior o producto punto, es una operación binaria definida sobre dos vectores de un espacio euclídeo cuyo resultado es un número o escalar. Esta operación permite explotar los conceptos de la geometría euclídea tradicional: longitudes, ángulos, ortogonalidad en dos y tres dimensiones. El producto escalar puede definirse también en los espacios euclídeos de dimensión mayor a tres, y en general en los espacios vectoriales reales y complejos. Los espacios vectoriales dotados de producto escalar reciben el nombre de espacios prehilbertianos.

“El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman”.

2.2. Ejemplo

2.3. Ejercicios

.

3. MODO DE UN VECTOR

Dos modos de calcular el producto escalar de dos vectores:

Hemos estudiado que el producto escalar de dos vectores:

podemos hacerlo

De donde obtenemos:

También sabemos que podemos calcular el producto de dos vectores conociendo el ángulo que forman dichos vectores:

Calculamos:

Sustituimos los valores hallados en la fórmula (I):

3.1. Propiedades de Producto Escalar

1. Conmutativa:

2. Distributiva respecto a la suma vectorial:

3. Asociatividad respecto al producto por un escalar m:

El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo.

3.2. Proyección de un vector

3.3. Producto escalar en el plano

Lo que sucede es que el producto escalar en el plano tangente de una superficie (definida como una subvariedad regular de , si no entiendes esto, no importa, pero es una precisión para quien conozca el tema desde un punto de vista más general) se define como la restricción a dicho plano del producto escalar en . Por lo tanto, no hay circularidad. Por ejemplo, considera una carta de una esfera:

Entonces, una base del plano tangente en el punto es

Estos vectores de son, en particular, vectores de , luego puedes calcular su producto escalar:

, etc.

y así calculas la matriz del producto escalar en la base dada.

3.4. Producto vectorial de dos vectores

Es ahora, al referirnos al producto vectorial, cuando al signo de multiplicar lo representamos con el aspa o cruz de ahí que también llamemos producto cruz.

El producto vectorial de dos vectores produce un vector perpendicular a los dos vectores.

En la siguiente figura, el producto vectorial de los dos vectores situados en el plano: y es un nuevo vector .

Este vector o

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