Espacios Vectoriales

¿Qué son espacios vectoriales?

Un espacio vectorial es una estructura matemática creada a partir de un conjunto no vacío con una operación suma interna al conjunto y una operación producto externa entre dicho conjunto y un cuerpo, cumpliendo una serie de propiedades o requisitos iniciales. A los elementos de un espacio vectorial se les llamará vectores y a los elementos del cuerpo se les llamará escalares.

Sea V un conjunto no vacío sobre el cual existen dos operaciones. Una llamada suma de vectores y otra

Llamada multiplicación de un escalar por un vector. La suma de vectores, o simplemente suma, es una regla o

Función que asocia a dos vectores, digamos U y V un tercer vector, a este se le representara como U ⊕ V. La

Multiplicación es una regla que asocia a un escalar y a un vector, digamos

C y U un segundo vector representado

Por C ⊙ U. Diremos que el conjunto V se llama espacio vectorial si cumple todos y cada uno de los siguientes

Axiomas:

(A1) Para cualquiera dos vectores u y v en V

u ⊕ v ∈ V

Este axioma se conoce como el axioma de cerradura bajo la suma:

* La suma de dos elementos del conjunto debe dar como resultado también un elemento del conjunto.

(A2) Para cualesquiera dos vectores u y v en V

u ⊕ v = v ⊕ u

Este axioma se conoce como el axioma de la conmutatividad de la suma:

* El orden de los sumandos no altera el resultado de la suma.

(A3) Para cualquiera tres vectores u, v y w en V

u ⊕ (v ⊕ w) = (u ⊕ v) ⊕ w

Este axioma se conoce como axioma de la asociatividad de la suma:

* En una suma de vectores, no importa el orden como asocien la sumas entre dos; el resultado será siempre el mismo.

(A4) Existe un único vector en V que se simbolizara por 0 y que se llamara el vector cero tal que para cualquier vector u ∈ V se cumple

u ⊕ 0 = 0 ⊕ u = u

Este axioma se conoce como el axioma de la existencia del elemento neutro:

* Existe en el conjunto un elemento distinguido que sumado con cualquier elemento da el mismo segundo elemento.

(A5) Para cualquier vector u ∈ V existe un único vector también en V y simbolizado por −u que cumple

u ⊕ (−u) = (−u) ⊕ u = 0

Este axioma se conoce como axioma de la existencia de inversos aditivos:

* Cada elemento del conjunto posee un inverso aditivo; un elemento del conjunto que sumado con el da el neutro aditivo.

(M1) Para cualquier vector u ∈ V y para cualquier escalar c ∈ R se cumple

c ⊙ u ∈ V

Este axioma se conoce como el axioma de cerradura bajo la multiplicación por escalares:

* El resultado del producto entre cualquier escalar por cualquier elemento del conjunto debe dar como resultado también un elemento del conjunto.

(M2) Para cualquiera dos vectores u y v en V , y para cualquier escalar c en R se cumple

c ⊙ (u ⊕ v) = (c ⊙ u) ⊕ (c ⊙ v)

Este axioma se conoce como la propiedad distributiva del producto (por escalares) sobre la suma (de vectores):

* En un producto de un escalar por una suma de vectores, da lo mismo realizar la suma de los vectores y el resultado multiplicarlo por el vector que individualmente multiplicar cada vector por el escalar y después sumar los resultados.

(M3) Para cualquier vector u ∈ V y para cualquiera dos escalares a y b en R se cumple

(a + b) ⊙ u = (a ⊙ u) ⊕ (b ⊙ u)

Este axioma se conoce como la propiedad distributiva del producto por escalares sobre la suma escalares.

(M4) Para cualquier vector u ∈ V y para

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