Espacios Vectoriales

Espacios vectoriales

Introducción

Muchas nociones físicas comunes, tales como las fuerzas, velocidades y aceleraciones, involucran una magnitud (el valor de la fuerza, velocidad o aceleración), una dirección y un sentido. Cualquier entidad que involucre magnitud, dirección y sentido se llama vector. Los vectores se representan por flechas en las que la longitud de ellas define la magnitud del vector, la dirección y sentido de la flecha representa la dirección y sentido del vector. En la mayor parte de las situaciones físicas que involucran ventores únicamente la magnitud, dirección y sentido son significativas; consecuentemente, se considerara a los vectores con la misma magnitud, dirección y sentido como iguales, independientemente de sus posiciones relativas.

Espacios vectoriales

Debido a entidades tan diversas como las fuerzas que operan en un plano y os polinomios con coeficientes reales permiten definiciones naturales de suma y multiplicación por escalares que poseen las propiedades que se nombraran a continuación.

Un espacio vectorial V sobre un campo F consiste de un conjunto en el que están definidas dos operaciones (llamadas adición y multiplicación con por escalares respectivamente), tal que para cualquier par de elementos “x” y “y” en V exista un elemento único ax en V de manera que se cumplan las siguientes condiciones:

 Para toda x, y en V, x + y = y + x (conmutatividad de la adición)

 Para toda x, y, z en V, (x + y)+z = x + (y + z) (asosiatividad de la adición)

 Existe un elemento en V llamado 0 tal que x + 0 = x para toda x en V

 Para cada elemento x en V, existe un elemento y en V tal que x +y =0

 Para cada elemento x en V,1x = x

 Para cada par a, b de elementos en F y cada elemento x en V, (ab)x = a(bx)

 Para cada elemento a en F y cada par de elementos x, y en V, a(x + y) = ax + ay

 Para cada par de elementos a, b en F y cada elemento x en V, (a +b)x = ax + bx

Nota: los elementos del campo F se llaman escalares y los elementos del espacio vectorial V se llaman vectores; ahora el uso la palabra “vector” se utiliza para describir cualquier de elemento de un espacio vectorial.

Teorema 1.1 (Ley de cancelación para la suma vectorial). Si x, y, z son elementos de un espacio vectorial V tal que x + z = y + z, entonces x = y

Teorema 1.2 En cualquier espacio vectorial V, son verdaderos los siguientes enunciados

a) 0x = 0 para toda x ϵ V

b) (-a )x = -(ax) para toda a ϵ F y toda x ϵ V

c) a0 = 0 para toda a ϵ F

Subespacios

Un subconjunto W de un espacio vectorial V sobre un campo F se llama un subespacio de V si W es un espacio vectorial sobre F, bajo las operaciones de suma y multiplicación por escalares definidas en V

En cualquier

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