ESPACIOS VECTORIALES.
Enviado por SilviaBeltranc • 11 de Marzo de 2016 • Informe • 7.503 Palabras (31 Páginas) • 270 Visitas
INDICE
Definición de espacio vectorial…………………………………………………………..
Teoremas sobre espacios vectoriales…………………………………………………..
Demostración……………………………………………………………………………...
Definición de subespacio vectorial y sus propiedades………………………………
Subespacios y espacios generados……………………………………………………
Espacio Vectorial…………………………………………………………………………..
Propiedades……………………………………………………………………………….
Combinación lineal independencia lineal………………………………………………
Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base………………………
Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades……………………….
Base ortonormal, proceso de ortonormalización de Gram- Schmidt…………….
Glosario……………………………………………………………………………………
Bibliografía………………………………………………………………………………..
DEFINICIÓN DE ESPACIO VECTORIAL
Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos llamados vectores, junto con dos operaciones, llamadas suma y multiplicación escalar que satisfacen los diez axiomas que se enumeran a continuación:
Notación Si x e y están en V y si α es un número real, entonces escribiremos x + y para la suma de x e y y αx para el producto escalar de α y x.
- Axioma de cerradura bajo la suma: La suma de dos elementos del conjunto debe dar como resultado también un elemento del conjunto. Si x Є V e y Є V, entonces x + y Є V ( es decir, V es cerrado para la suma).
- Axioma de la asociatividad de la suma: En una suma de vectores, no importa el orden como asocien la sumas entre dos; el resultado será siempre el mismo. Para todos x, y, z en V, (x + y) + z = x + (y + z) ( ley asociada de la suma).
- Axioma de la existencia del elemento neutro: Existe en el conjunto un elemento distinguido que sumado con cualquier elemento da el mismo segundo elemento. Existe un vector 0ЄV tal que para todo xЄV, x + 0 = 0 + x = x (0 se conoce como neutro aditivo de x).
- Axioma de la existencia de inversos aditivos:
Cada elemento del conjunto posee un inverso aditivo; un elemento del conjunto que sumado con el da el neutro aditivo. Si x ЄV, existe un vector – x en V tal que x + (- x) = 0 (- x se conoce como el inverso aditivo de x)
- Axioma de la conmutatividad de la suma:
El orden de los sumandos no altera el resultado de la suma. Si x e y están en V, entonces x + y = y + x (ley conmutativa de la suma de vectores).
- Axioma de cerradura bajo la multiplicación por escalares:
El resultado del producto entre cualquier escalar por cualquier elemento del conjunto debe dar como resultado también un elemento del conjunto. Si x Є V, entonces α x Є V ( se dice que V es cerrado para la multiplicación escalar).
- Propiedad distributiva del producto (por escalares) sobre la suma (de vectores):
En un producto de un escalar por una suma de vectores, da lo mismo realizar la suma de los vectores y el resultado multiplicarlo por el vector que individualmente multiplicar cada vector por el escalar y después sumar los resultados. Si x e y están en V y si α es un escalar, entonces α(x +y) = αx + αy (primera ley distributiva).
- Propiedad distributiva del producto por escalares sobre la suma escalares: Si x Є V y si α y β son escalares, entonces (α + β)x = αx + βx (segunda ley distributiva).
- Axioma de la asociativa de la multiplicación escalar: Si x Є V y si α y β son escalares, entonces α(βx) = αβx ( ley asociativa de la multiplicación escalar).
- Axioma de neutro multiplicativo: Para todo vector xЄV , 1x = x ( al escalar 1 se le conoce como neutro multiplicativo).
TEOREMAS SOBRE ESPACIOS VECTORIALES
Sea V un espacio vectorial. Entonces:
- α0 = 0 para todo número real α. (El escalar 0 por cualquier vector da el vector cero).
- 0.x = 0 para todo xЄV (Cualquier escalar por el vector cero da el vector cero).
- Si αx = 0, entonces α = 0 ó x = 0 (o ambos). Cuando el producto de un escalar por un vector, da el vector cero, o el escalar es cero o el vector es el vector cero.
- (- 1) x = - x para todo xЄV (Multiplicar por un escalar negativo implica obtener el inverso aditivo del producto del escalar sin el signo por el vector).
DEMOSTRACIÓN
i. Por el axioma (iii), 0 + 0 = 0; y del axioma (viii)
α(0 + 0) = α0 + α0 = α0
Sumando – α0 a ambos lados de la última ecuación (1) y usando la ley asociativa (axioma iii), obtenemos
[α0 + α0] + (- α0) = α0 + (- α0)
α0 + [α0 + (- α0)] = 0
α0 + 0= 0
α0 = 0
ii. Esencialmente tenemos el mismo argumento que el usado en la parte (i). Dado que 0 + 0 = 0, usando el axioma (viii) obtenemos que 0x = (0 + 0)x = 0x + 0x, es decir, 0x + ( - 0x) = 0x + [ 0x + (- 0x)], de donde 0 = 0x + 0 = 0x.
iii. Hagamos αx = 0. Si α ≠ 0, multiplicando ambos lados de la ecuación pro 1/α, obtenemos (1/α)(αx) = (1/α)0 = 0 (por(i)). Pero (1/α)(αx) = 1x = x ( por axioma ix); por lo tanto x = 0
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