ESPACIOS VECTORIALES

BASES Y DIMENSIÓN

Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente.

Propiedades de las bases.

1. Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño posible).

2. Además es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo más grande posible).

3. Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella, de manera única para cada vector.

Ejemplos de bases.

1. La base canónica (o base natural, o base estándar) deℜ n:

e1 = (1,0,. . . ,0)

e2 = (0,1,. . . ,0)

........

en = (0,0,. . . ,1)

- Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo.

- Son sistema generador de ℜn porque todo vector (a1,a2,. . . ,an)∈ ℜn se puede expresar como combinación lineal de ellos:

(a1,a2,. . . ,an)= a1(1,0,. . . ,0)+ a2(0,1,. . . ,0)+ . . . + an(0,0,. . . ,1)

2. Otra base de ℜ3 distinta de la canónica: (1,0,0), (1,1,0), (0,2,-3).

- Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo.

- Son sistema generador de ℜ3 porque cualquier vector (a,b,c) se puede poner como combinación lineal de ellos. En efecto, dado (a,b,c), buscamos α,,γ que satisfagan β

(a,b,c)= α(1,0,0)+ (1,1,0)+γ(0,2,-3) β

Se obtiene un sistema:

α+= a β

β+2γ=b

-3γ = c

en las incógnitas α,,γ, que es compatible determinado para cualesquiera a,b,c. β

3. (1,2,3), (4,5,6), (7,8,9) en ℜ3 no forman base porque no son linealmente independientes (su determinante es nulo).

Neila Campos ÁLGEBRA LINEAL Espacios Vectoriales 21

4. Base de un subespacio

. En ℜ

3

, consideremos el subespacio S= plano XY. Veamos que los vectores (3,2,0) , (1,–1,0) forman una base de S. - Son linealmente independientes, porque uno no es múltiplo del otro. - Son un sistema generador de S: Dado un vector genérico de S, de la forma (a,b,0), lo podemos poner como combinación lineal de (3,2,0), (1,–1,0). Para ello, buscamos α, b que cumplan:

β

(a,b,0)= α(3,2,0)+ (1,–1,0)

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