Espacios vectoriales

INTRODUCCION:

Este tema está conformado por bases teóricas que permitirán al alumno desarrollar un conocimiento práctico para su aplicación en la materia y/o trabajo que se requiera. En base al contenido de este documento el lector aprenderá a utilizar y emplear las propiedades vectoriales, teniendo en cuenta que para aprender hay que llevar a cabo la resolución de problemas donde se involucren estos temas para así practicar el conocimiento adquirido. El aprendizaje y desarrollo de estos temas permitirán al lector poder resolver problemas con una complejidad aún mayor.

Espacios vectoriales

¿Qué es un vector?

Un vector es una magnitud que consta de módulo, dirección y sentido. Algunos sin embargo; más teóricos, explicarían que un vector es una entidad tal que para ser expresada necesita de n escalares (números); siendo n cualquier numero natural.

Definición de un espacio vectorial:

Un espacio vectorial es un conjunto no vacío de V objetos, llamados vectores, en el que están definidas dos operaciones, llamadas suma y multiplicación por escalares números reales), sujetas a diez axiomas(o reglas) que se dan a continuación. Los axiomas deben valer para todos los vectores u, v, y w en V y todos los escalares c y d.

1. La suma de u y v, denotada por u + v, está en V

2. u + v = v + u

3. (u + v)+ w = u + (v + w)

4. Existe un vector 0 en V tal que u + 0 = u

5. Para cada u en V, existe un vector –u en V tal que u + (-u) = u.

6. El múltiplo escalar de u por c, denotado cu, está en V

7. c(u + v ) = cu + cv

8. (c+ d) u = cu + du

9. c(du) = (cd)u

10. 1u=u

SUBESPACIOS VECTORIALES

Un subespacio vectorial V es un subconjunto H de V que tiene tres propiedades:

1.- El vector cero de V está en H2

2.- H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada u y v en H, la

suma u + v está en H

3.- H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada u en H

y cada escalar c, el vector cu está en H

Ejemplo:

El conjunto que consta únicamente de un vector cero en un espacio vectorial V es un subespacio de V subespacio cero se escribe {0}

Espacio vectorial

Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores, entonces toda base de V tiene n vectores.

Base un conjunto finito de vectores {v1,v2,v3,,,,,,vn} es una base de un espacio vectorial de V si

1. {v1,v2,v3,,,,,,vn} es linealmente independiente

2. {v1,v2,v3,,,,,,vn} genera a V

Todo conjunto de n vectores linealmente independientes en n ℜ es una base de n ℜ

1. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita. Entonces todas las bases de V tienen el mismo número de elementos. El espacio vectorial {0} tiene dimensión

0 por definición. Cuando un espacio vectorial no es de dimensión finita, se dice que es de dimensión infinita.

2. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita n, cualquier conjunto de n+1 o más vectores son linealmente dependientes.

Dimensiones de un espacio vectorial:

Si un espacio vectorial V tiene una base que consta de n vectores, entonces el número n se denomina dimensión de V y se denota por dim(V)=n. Si V consta solamente del vector cero, entonces la dimensión de V se define

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