Espacios Vectoriales En R2

ESPACIOS VECTORIALES EN R2.

Los conjuntos R2 (vectores en el plano) y R3 (vectores en el espacio) cuentan con muchas propiedades interesantes. Se pueden sumar dos vectores en R2. Bajo la suma, los vectores en R2 obedecen las leyes conmutativa y asociativa. Si x ε R2 , entonces x + 0 = x y x + (-x ) = 0. Se puede multiplicar vectores en R2 por escalares y obtener las leyes distributivas. Los conjuntos R2 y R3 junto con las operaciones de suma de vectores y multiplicación por un escalar se llaman espacios vectoriales. De manera intuitiva, se puede decir que un espacio vectorial es un conjunto de objetos junto con 2 operaciones que obedecen las reglas que acaban de escribirse.

AXIOMAS DE UN ESPACIO VECTORIAL.

l.- SI x ε V y y ε V, entonces x + y ε v.

II.- para todo x, y y 2 en V, (X+y) + 2= X + (y+2)

(Ley asociativa de la suma de vectores)

III.- Existe un vector 0 ε V tal que para todo X ε V, X+0=+X=

(El 0 se llama vector cero o idéntico aditivo)

IV. si X ε V, existe un vector –x en V tal que x + (-x) =0

(-x se llama inverso aditivo de x)

V.- Si X y Y están en V entonces X + Y = Y+X

(Ley conmutativa de la suma de vectores)

VI.- Si X ε V y ∝ es un escalar, entonces ∝ x ε ν

(Cerradura bajo la multiplicación por un escalar)

VII.- Si X y Y están en V y ∝ es un escalar, entonces ∝ (x+y) = ∝ χ + ∝ y.

(Primera ley distributiva).

VIII.- Si x ε V y ∝ y β son escalares, entonces (∝ y β) x = ∝ x + β×

(Segunda ley distributiva).

IX.- Si x ε V y ∝ y β son escalares, entonces ∝ (β x) = (∝ β) x.

(Ley asociativa de la multiplicación por escalares)

X.- Para cada vector X ε V, 1X=X

EJEMPLO 1.

El conjunto de puntos de en R2 que están en una recta que pasa por el origen, constituye un espacio vectorial sea V= { (x,y): y=mx, donde m es un número real arbitrario}.

Es decir, V consiste en todos los puntos que están sobre la recta y=mx que pasa por el origen y tiene pendiente m. Para demostrar que V es un espacio vectorial, se puede verificar que se cumple cada uno de los axiomas.

I.- Suponga que…………………………………….están en…………………………………. Entonces……………………

II.- Suponga que…………………………………….entonces ………………………………………y ……………………….., de manera que……………………………también pertenece a ……………………………………………………………

EJEMPLO II.

Considerar a los elementos de R2 como motrices de dos renglones y una columna con las operaciones de X y . entre motrices. Es decir, si………………………son elementos de R2 y λ, µ elementos de R2 serán.

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Para

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