ESPACIOS VECTORIALES

CATEDRA: ALGEBRA TEMA: ESPACIOS VECTORIALES 1

ALGEBRA

TEMA: ESPACIOS VECTORIALES

CONTENIDOS PAG.

• INTRODUCCION 02

• 1 - ESPACIOS VECTORIALES 03

Ejercicios Propuestos 05

• 2 - SUBESPACIOS 06

Ejercicios propuestos 12

• 3 - COMBINACION LINEAL Y ESPACIO GENERADO 14

Ejercicios propuestos 19

• 4 - DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL 20

Ejercicios Propuestos 28

• 5 - BASE Y DIMENSION 29

Ejercicios Propuestos 34

• 6 – RANGO DE UNA MATRIZ 35

Ejercicios Propuestos 39

• RESULTADOS DE EJERCICIOS PROPUESTOS 40

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INTRODUCCION

El material que se presenta a continuación es un material elaborado para que sirva de guía a los estudiantes de las carreras de Ingeniería para la resolución de situaciones prácticas de Algebra Lineal. El mismo se encuentra organizado por temas, siendo este cuadernillo el que corresponde a la primera mitad del curso, que consta de los siguientes temas: espacios vectoriales, subespacios, combinación lineal y sistema generado, dependencia e independencia lineal, base y dimensión de un espacio vectorial y se corresponde con las Unidades Nº 3 y 4 de los contenidos de la asignatura y de los Trabajos Prácticos Nº 2 y 3.

Los temas que se tratan en este material están organizados de la siguiente manera:

• Introducción Teórica: se presentan los conceptos necesarios para la resolución de las situaciones planteadas.

• Resolución de ejercicios: se presentan como ejemplos ejercicios correspondientes a cada tema tratado.

• Interpretación Geométrica: se presenta en casos que es necesario para aclarar conceptos o para que el lector relacione los conceptos del álgebra lineal con otras ramas de las matemáticas. Dicha interpretación facilita la resolución de problemas en los espacios R2 y R3 y sus resultados o conclusiones se pueden interpolar a espacios abstractos como Rn

• Ejercicios Propuestos: Se proponen ejercicios de diferentes grados de dificultad, en los que el objetivo es que el lector los resuelva no solo aplicando algoritmos matemáticos si no que preferentemente lo haga a través de la aplicación de Propiedades, Leyes o Teoremas del Algebra Lineal.

• Al final del cuadernillo se presentan un Apéndice donde se aclara la notación que se utiliza en el mismo y se presentan los resultados de los ejercicios propuestos.

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1 - ESPACIOS VECTORIALES

Sea V es un conjunto de objetos, llamados vectores, sobre el que están definidas dos operaciones: la adición y la multiplicación por escalares (números). Por adición (+) se entiende una regla que asocia a cada par de objetos x e y en V un objeto x + y y por multiplicación escalar (*) se entiende una regla que asocia a cada escalar α y a cada objeto x en V, un objeto αx denominado múltiplo escalar de x por α. Si los objetos x, y y z en V y los escalares α y β satisfacen los siguientes axiomas, entonces (V, +, K, *) se denomina Espacio Vectorial:

1) Si x Є V e y Є V, entonces x + y Є V (Ley de composición interna o cerradura para la suma)

2) Para todo x Є V, y Є V, z Є V, entonces (x + y) + z = x + (y + z) (Ley asociativa de la suma en V)

3) Existe 0 Є V, tal que x + 0 = 0 + x = x (Existencia en Vde elemento neutro para la suma)

4) Existe –x Є V, tal que x + (-x ) = 0 (Existencia en V de elemento inverso aditivo)

5) Para todo x Є V e y Є V, se verifica x + y = y + x (Ley conmutativa de la adición en V)

6) Si x Є V y α Є K, entonces αx Є V.(Ley de composición externa o cerradura para la multiplicación por escalar)

7) Para todo x Є V y α, β Є K, se verifica α(β.x) = (αβ).x (Ley de asociatividad mixta)

8) Para todo x e y Є V y α Є K, se verifica α(x + y) = αx + αy (Ley distributiva respecto de la adición del producto por escalar en V)

9) Para todo x Є V y α, β Є K, se verifica (α+β).x = αx + βx (Ley distributiva del producto por escalar en R)

10) Para cada vector x Є V, 1. x = x

Los primeros cinco axiomas están referidos al conjunto V con el operador suma (+). Si el par (V, +) cumple dichos axiomas se denomina al mismo grupo abeliano. Los cinco axiomas restantes están referidos al producto de un vector (x Є V) por un escalar (α Є K) siendo K el cuerpo de escalares.

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EJERCICIOS RESUELTOS

EJEMPLO 1.1:

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