Espacios Vectoriales

Contenido

RESUMEN 3

ESPACIOS VECTORIALES 5

1. NOTACIÓN 5

2. Definición de espacio vectorial 5

3. ESPACIO VECTORIAL. 6

4. PROPIEDADES 8

5. LA LÍNEA RECTA. 9

a) Concepto de Línea Recta. 9

b) Pendiente de una recta. 10

c) Ecuación de la recta. 10

d) Forma simétrica de la ecuación de la recta. 11

e) Rectas y vectores. 11

6. CIRCUNFERENCIA. 12

a) Tangente a una circunferencia. 12

7. TANGENTE A UNA CURVA. 13

8. PARÁBOLA. 13

9. ELIPSE. 14

10. HIPÉRBOLA. 15

11. ASÍNTOTAS. 16

12. SUBTANGENTE Y SUBNORMAL. 17

13. ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO. 18

14. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS. 18

a) Traslación de ejes de coordenadas. 18

b) Rotación de ejes de coordenadas. 18

15. COORDENADAS POLARES. 18

16. LUGAR GEOMÉTRICO. 19

a) Lugar geométrico de la recta en 3 dimensiones. 19

b) Ecuaciones paramétricas. 19

17. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA. 20

18. EL PLANO. 20

19. LA ESFERA. 21

c) Coordenadas esféricas. 21

20. SUPERFICIES. 21

a) Construcción de una superficie. 22

21. TEMA DE APLICACIÓN. 23

a) Construcción de volúmenes. 23

22. Definición y Propiedades de un espacio vectorial 24

23. Vector fijo 25

a) Elementos de un vector 25

b) Módulo de un vector 25

c) Módulo de un vector a partir de sus componentes 26

d) Coordenadas de un vector 26

e) Clases de vectores 27

24. Propiedades del Espacio Vectorial 31

a) Suma de vectores 31

b) Resta de vectores 31

Producto de un número por un vector 32

25. Espacios vectoriales con estructura adicional 33

26. Espacios normados 33

a) Espacio métrico 33

b) Espacios vectoriales topológicos 33

c) Espacios de Banach 33

d) Espacios prehilbertianos 34

e) Espacios de Hilbert 34

27. MORFISMOS ENTRE ESPACIOS VECTORIALES 34

a) Aplicaciones lineales 34

CONCLUSIONES 35

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 36

RESUMEN

En álgebra abstracta, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa(llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo, con 8 propiedades fundamentales.

1) tenga la propiedad conmutativa,

2) tenga la propiedad asociativa,

3) tenga elemento neutro O,

4) tenga elemento opuesto,

5) tenga la propiedad asociativa:

6) 1∈K sea elemento neutro del producto:

7) propiedad distributiva del producto respecto la suma de vectores

8) propiedad distributiva del producto respecto la suma de escalares

El Espacio Vectorial es un conjunto arbitrario diferente del vacío en el cual se han definido dos operaciones: adición y producto por un número.

La línea recta es una sucesión de puntos y éstos carecen de magnitud, pero se considera como una trayectoria de puntos que no cambian de dirección, o bien, en términos del espacio, es la intersección de dos planos.

Circunferencia es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que se conserva siempre a una distancia constante de un punto fijo de ese plano; el punto fijo se llama centro y la distancia constante radio.

Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de talo manera que su distancia de una recta fija situada en el plano es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta. Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que las sumas de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante mayor que la distancia entre los dos puntos. Los dos puntos fijos se llaman focos de la elipse.

Una hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos.

Una transformación es una operación por la cual una relación, expresión o figura se cambia por otra siguiendo una ley dada. Analíticamente la ley se expresa mediante una o más ecuaciones llamadas "ecuaciones de transformación".

El lugar geométrico lo podemos definir como el conjunto de puntos y solo de aquellos puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación f(x, y)=0, y además, cualquier punto que se mueve en el plano describe una curva.

El lugar geométrico de una esfera, es el lugar de un punto en el espacio que se mueve de tal manera que su distancia a un punto fijo es siempre constante.

Se dice que una superficie es simétrica con respecto a un plano de simetría d si el simétrico de cada punto de la superficie respecto del plano de es también un punto de la superficie.

Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama

Los morfismos entre espacios vectoriales son aplicaciones entre espacios vectoriales que mantienen la estructura de los espacios vectoriales

ESPACIOS VECTORIALES

En álgebra abstracta, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa(llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo ), con 8 propiedades fundamentales.

A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.

NOTACIÓN

Dado un espacio vectorial V sobre un cuerpo K, se distinguen.

Los elementos de V como:

u,v,w,…ϵV se llaman vectores.

Caligrafías de otras obras

a ̅,v ̅,,w ̅,…ϵV

Si el texto es de física suelen representarse bajo una flecha:

u ̅,v ̅,,w ̅,…ϵV

Los elementos de K como:

a,b,c,…ϵK se llaman escalares.

Definición de espacio vectorial

Un espacio vectorial sobre un cuerpo (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es unconjunto no vacío, dotado de dos operaciones para las cuales será cerrado:

Suma+:V xV →V

(u,v)→u+v

operación interna tal que:

1) tenga la propiedad conmutativa, es decir

u+v)v+u,∀ϵV

2) tenga la propiedad asociativa, es decir

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