Espacios Vectoriales

Espacios Vectoriales

En álgebra abstracta, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo ), con 8 propiedades fundamentales.

A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.

Varios vectores libres del plano son linealmente dependientes si existe una combinación lineal de ellos que sea igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

Coordenadas de un vector

Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son:

Los espacios vectoriales se derivan de la geometría afín, a través de la introducción de coordenadas en el plano o el espacio tridimensional, los matemáticos franceses Descartes y Fermat fundaron las bases de la geometría analítica mediante la vinculación de las soluciones de una ecuación con dos variables a la determinación de una curva plana. Para lograr una solución geométrica sin usar coordenadas, Bernhard Bolzano introdujo ciertas operaciones sobre puntos, líneas y planos. Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen del análisis funcional, principalmente de espacios de funciones. Los problemas de Análisis funcional requerían resolver problemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topología, permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad.

Los vectores se reconsideraron con la presentación de los números complejos de Argand y Hamilton y la creación de los cuaterniones por este último. Son elementos de R2 y R4; el tratamiento mediante combinaciones lineales.

Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia y la ingeniería. Se utilizan en métodos como las series de Fourier. Además, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y físicos.

¿Por qué estudiar los espacios vectoriales?

En general y como pudimos observar de acuerdo a la historia, al introducirse en espacios vectoriales tenemos que podemos aplicarlos de distintas formas ya sea dentro de las matemáticas como fuera de ellas por ejemplo podemos aplicarla dentro de la notación matricial, que permite una armonización y simplificación de las aplicaciones lineales, como pudimos observar los vectores se reconsideraron con la presentación de los números complejos, y si notamos las diversas aplicaciones ya nombradas tendríamos que aplicarlas de la mejor manera posible.

Conclusiones:

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