Espacios Vectoriales.

Capítulo I

VECTORES EN EL ESPACIO

Introducción:

        La Geometría elemental fue desarrollada en la antigüedad por los Griegos quienes crearon una forma sistemática de analizar las propiedades elementos de Euclides que fueron las bases de la geometría plana y del espacio pero en 1637 el matemático francés Rene Descartes creo la geometría analítica en la que introduce las coordenadas rectangulares, llamadas también en su memoria coordenadas cartesianas; con esto consigue algebrizar las ideas geométricas.

        El propósito de este método consiste en introducir mediante un sistema de coordenadas, los conceptos de relaciones geométricas a conceptos de relaciones algebraicas y viceversa, para esto el concepto básico es el de vector.

Terna Ordenada:

        Se denomina terna ordenada a tres objetos cualesquiera x, y, z que se denotará por:  donde x es la primera componente de la terna, y la segunda componente y z la tercera componente.[pic 1]

Espacio Tridimensional:

        Se denomina espacio tridimensional al conjunto de todas las ternas ordenadas de números reales que se denotaran por , donde cada terna ordenada  se denomina punto en el espacio tridimensional.  (Gráfico)[pic 2][pic 3]

Ejes Coordenados:

        Los ejes coordenados son 3 rectas perpendiculares entre si generalmente identificados por el eje X, eje Y y eje Z.  La dirección positiva se indica por medio de una flecha, los ejes de coordenadas tomados de dos en dos determinan tres planos llamados  planos coordenados: plano XY, plano XZ y plano YZ, estos planos dividen al espacio tridimensional en ocho regiones denominadas octantes.  (Gráfico)

Vector Tridimensional:

        Un vector tridimensional es una terna ordenada de números reales  donde x, y, z son las componentes del vector.  Un vector geométricamente se representa como un segmento orientado donde P es el origen, Q es el extremo,  es la longitud (módulo del vector), la inclinación del vector representa la dirección y la posición de la flecha indica él sentido. [pic 4][pic 5]

Interpretación Geométrica de un Vector Tridimensional:

        Sea  un vector en el espacio, al cual lo representaremos mediante un segmento orientado tal como ; donde  es el punto inicial y  es el extremo o punto final.  (Gráfico)[pic 6][pic 7][pic 8][pic 9]

[pic 10]

Vector de Posición o Radio Vector:

        Un vector de posición  es de posición si el punto inicial coincide con el origen de coordenadas y el extremo está ubicado en cualquier punto del espacio.  (Gráfico)[pic 11]

Operaciones con Vectores:

1. Igualdad de Vectores: Dos vectores  y  son iguales si y solo si sus componentes correspondientes son iguales.[pic 12][pic 13]

Si  ,  entonces se escribirá:  y ; la igualdad se denotará así: [pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18]

1. Interpretación geométrica de la igualdad de vectores:

• Dos vectores son iguales si tienen la misma dirección, el mismo sentido, el mismo tamaño, el mismo punto inicial y el mismo punto terminal, se denotará por:    (Gráfico)[pic 19]
• Dos vectores son equivalentes si tienen la misma dirección, el mismo sentido, el mismo tamaño, pero diferente punto inicial y final, se denotará por:   (Gráfico)[pic 20]

1. Producto de un escalar por un vector: Sea k un escalar  y sea  un vector tridimensional entonces llamaremos producto de k por  denotado por: , al vector resultante cuyas componentes deben ser multiplicadas por k, es decir: (gráfico)[pic 21][pic 22][pic 23][pic 24]

[pic 25]

Propiedades: Para todo escalar  y los vectores  ,  se verifican las siguientes propiedades:[pic 26][pic 27][pic 28]

1.  es un vector[pic 29]
2. [pic 30]
3. [pic 31]
4. [pic 32]
5. [pic 33]

1. Suma y Diferencia de Vectores: Dados los vectores   y  el vector resultante suma  se obtiene sumando sus correspondientes componentes; lo mismo se tendrá para la diferencia de vectores, esto es:  ,  entonces: [pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38]

[pic 39]

[pic 40]

Interpretación Geométrica de la Suma y Diferencia de Vectores:

Para la interpretación geométrica de la suma y diferencia de vectores se consideran los siguientes métodos: del paralelogramo y del polígono vectorial.

• Método del Paralelogramo: Se dibujan las representaciones de los vectores  y  desde el mismo punto (se hace coincidir los puntos terminales de  é inicial de ) y se completa el paralelogramo.  La diagonal trazada desde el punto común representa .  La otra diagonal del paralelogramo será la diferencia .  (Gráfico)[pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45][pic 46]

• Método del Polígono Vectorial: La resultante de la suma de varios vectores se obtiene llevando los vectores uno a continuación de otro, haciendo coincidir el extremo de uno con el origen del otro, para finalmente determinar la resultante uniendo el origen del primer vector con el extremo del último vector.  (Gráfico)

Propiedades: Para todo vector  se verifican las siguientes propiedades:[pic 47]

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