Espacios Vectoriales

[pic 1]

Introducción

Cantor trabajó en una teoría de conjuntos infinitos que se extienden mas allá de las conclusiones del teorema que indica: “(i) El conjunto Q es contable. (ii) El conjunto R es no contable”. Aunque al principio encontró resistencias  a su propuesta, su creatividad e implacabilidad en sus intentos pronto produjeron una revolución en la Teoría de Conjuntos y provocó un cambio de paradigma en la forma en como las matemáticas entienden el concepto de infinito.

Desarrollo

1. El conjunto de Cantor ternario consiste de todos aquellos números reales en [0,1] que tienen expansión ternaria {an} para la cual an nunca es 1. (Si x tiene dos expansiones ternarias, ponemos x en el conjunto de Cantor si una de las expansiones no tiene término igual a 1). Demuestre que C es un conjunto cerrado, y que C es obtenido primero removiendo el tercio medio (1/3,2/3) de [0,1], luego removiendo los tercios medios (1/9,2/9) y (7/9,8/9) de los intervalos restantes y así sucesivamente.

Considerando  es un intervalo cerrado , y definimos  como el conjunto resultante de remover el intervalo abierto formado por el tercio medio:[pic 2][pic 3][pic 4]

[pic 5]

Ahora, se construye  de forma similar removiendo los intervalos abiertos formados por los terceros medios de cada uno de los dos componentes de :[pic 6][pic 7]

[pic 8]

Si se continua con este proceso de forma inductiva, entonces para cada n=0,1,2,… se obtiene un conjunto  que consiste de  intervalos cerrados, cada uno con un longitud de . Finalmente, se define al conjunto de cantor como la intersección[pic 9][pic 10][pic 11]

[pic 12]

Por esta definición, cada uno de los intervalos que conforma al conjunto de Cantor son intervalos cerrados. La unión finita de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado. Por lo tanto, el Conjunto de Cantor es cerrado.

1. Demuestre que el conjunto de Cantor puede ponerse en correspondencia uno a uno con el intervalo [0,1].

Se presume que existe una función  que es 1 – 1. Para cada ,  es un número real entre 0 y 1, y se representa utilizando la notación decimal: [pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]

Lo que es importante es que para cada ,  es un digito del set  que representa al n-simo dígito en la expansión decimal de . La correspondencia 1 – 1 entre N y (0,1) se puede resumir en el siguiente arreglo indexado:[pic 17][pic 18][pic 19][pic 20]

El concepto clave que se debe asumir sobre esta correspondencia es que cada número real dentro de (0,1) debe aparecer en algún punto de la lista.

...