Espacios vectoriales Rn

Espacios vectoriales Rn

• Concepto de espacio vectorial
• Subespacios de espacios vectoriales.
• Espacios en Rn
• Conjuntos generadores, dependencia e independencia lineal.
• Bases y Dimensión.
• Rango de una matriz y sistemas de ecuaciones lineales.
• Coordenadas y cambios de base.
• Aplicaciones.

• Espacios Vectoriales

• Concepto de espacio vectorial

Definición dados dos conjuntos representados por V y F tal que F es una estructura de campo,

Se dice que el conjunto V es un espacio vectorial si V es un grupo conmutativo representado por (V,), y además se cumplen las siguientes operaciones entre los conjuntos V y F.[pic 1]

1.   (Cerradura para la operación por un elemento de F)[pic 2]
2.  (distributiva-asoc. para elementos de V)[pic 3]
3.  (distributiva para elementos de F)[pic 4]
4.   (asociativa para elementos de F)[pic 5]
5.  (existencia del elemento identidad o neutro para F)[pic 6]

Nota: Generalmente F es el conjunto de los números reales (aunque podría ser el conjunto de los números complejos), y las operaciones  y (.) generalmente son la suma, y la multiplicación por un escalar, (la suma tiene diferentes leyes constitutivas dependiendo de los elementos que formen el conjunto V, ya que estos pueden ser vectores en R2, R3, ..., Rn, inclusive un conjunto de matrices o de polinomios de una variable, etc).[pic 7]

Recordar que en el tema de estructuras algebraicas del curso de Álgebra Superior para que (V, ), sea un grupo conmutativo debe cumplir con las cinco propiedades, 1) cerradura, 2) asociativa, 3) existencia del elemento identidad o neutro, 4) existencia del elemento simétrico o inverso, 5) propiedad conmutativa. Por lo que para que V sea un espacio vectorial debe cumplir con las diez propiedades ya indicadas, y se dice que los elementos de V son vectores.[pic 8]

Finalmente, recordar que al ser el conjunto F un campo o cuerpo debe formar una terna con dos operaciones (F, +, o), de tal manera que (F, +) y (F, o), deben ser grupos conmutativos y además se debe cumplir la propiedad distributiva para las dos operaciones.

Veamos dos ejemplos Ilustrativo:

Ejemplo 1) Sea V el conjunto los vectores en R3, y F el conjunto de los números reales con las operaciones de suma y multiplicación tradicional (R, +, X) (tal que cumple la condición de ser una estructura de campo o cuerpo). Comprobar que el conjunto V es un espacio vectorial.

Comprobemos que (R3, +) son un grupo conmutativo:

1. Cerradura: [pic 9]

Sean:[pic 10]

1. Asociativa: [pic 11]
2. Elemento Neutro: [pic 12]
3. Elemento inverso: [pic 13]
4. Conmutativa: [pic 14]

(R3,+) si es un grupo conmutativo o Abeliano[pic 15]

Para las operaciones entre V=R3 y F=R

1. Cerradura:  (si se cumple)[pic 16]
2. . (si se cumple)[pic 17]
3. . (si se cumple)[pic 18]
4.  (Si se cumple)[pic 19]
5. . (si se cumple)[pic 20]

Por lo tanto, el conjunto de vectores en cualquier espacio R3, es un espacio vectorial.

Ejemplo 2) Sea V el conjunto de las matrices de 2X2, y F el conjunto de los números reales con las operaciones de suma y multiplicación tradicional (R, +, X) (tal que cumple la condición de ser una estructura de campo o cuerpo). Comprobar que el conjunto V es un espacio vectorial.

Comprobemos que ([A]2X2, +) son un grupo conmutativo:

1. Cerradura [pic 21]

Demostración: Sea: , [pic 22][pic 23]

: +: [pic 24][pic 25][pic 26]

Si los elementos de ambas matrices pertenecen a los números reales la suma de dos cualesquier de ellos también pertenecerán al conjunto de los números reales por lo que el resultado siempre será una matriz de 2X2 que pertenece al conjunto dado, , por lo que si se cumple esta propiedad. Por ejemplo:[pic 27]

[pic 28]

1. Propiedad asociativa. -

.  Por ejemplo:[pic 29]

{[pic 30][pic 31]

{ [pic 32][pic 33]

                       [pic 34]

1. Existencia del elemento identidad o neutro. -   [pic 35]

[pic 36]

1. Existencia del elemento inverso o simétrico. - [pic 37]

[pic 38]

1. Propiedad conmutativa. - [pic 39]

  (se cumple)[pic 40]

Se cumple que el conjunto de las matrices de dos por dos es un grupo conmutativo o Abeliano.

Ahora comprobemos las otras dos operaciones para los dos conjuntos, de las matrices de dos por dos y el conjunto de los números reales:

1. Cerradura  (si se cumple), por ejemplo, si:[pic 41]

 =-3 y v=   (se cumple)[pic 42][pic 43]

1. . . Por ejemplo:[pic 44]

Si=4, v1= , v2= [pic 45][pic 46][pic 47]

   +}=4+4[pic 48][pic 49][pic 50][pic 51][pic 52]

=+(se cumple)[pic 53][pic 54][pic 55]

...