UNIDAD III ESPACIOS VECTORIALES

UNIDAD III ESPACIOS VECTORIALES

3.1 ESPACIOS EUCLIDIANO Y PRODUCTO ESCALAR

El espacio euclídeo es tipo de espacio geométrico donde se satisfacen los axiomas de Euclides de la geometría. La recta real, el plano euclídeo, al espacio tridimensional de la geometría euclidiana son casos especiales de espacio euclídeo de dimensiones 1, 2 y 3; el concepto abstracto de espacio euclídeo generaliza esas construcciones a más dimensiones. El termino euclídeo se utiliza para distinguir estos espacios de los espacios curvos de la geometría no euclidiana y la teoría de la relatividad de Einstein. Para resaltar el hecho de que un espacio euclídeo puede poseer dimensiones, se suele hablar de "espacio euclídeo n-dimensional". Estructuralmente un espacio euclídeo es un espacio vectorial normado sobre los números reales de dimensión finita, en que la norma es la asociada al producto escalar ordinario.

El producto escalar, que también se puede llamar producto interno o punto, se trata de una aplicación externa bilineal, que se define sobre une espacio vectorial o espacio lineal cuyos elementos son los vectores y sobre estos pueden realizarse multiplicaciones por escalares o la suma. El resultado de operar entre sí dos vectores, es un escalar en el cual se encuentran los números reales, complejos o racionales. Entonces el espacio de producto escalar se trata de un espacio vectorial V con una operación adjunta de producto escalar, lo cual permite a dos vectores originar un número. En consecuencia se define como un elemento del campo vectorial de V.

Como el producto interno de un vector consigo mismo no debe ser negativo, un espacio de producto escalar solo se puede definir sobre campos que toleran la noción de signo. Lo cuál por ejemplo descarta a los campos finitos. La efectividad del producto escalar hace posible tener visión geométrica en un espacio Euclídeo (esto corresponde al plano euclidiano, al espacio tridimensional de la geometría euclidiana y a la generalización de estos) a más dimensiones por razón de una noción bien especificada del ángulo entre dos vectores, y especialmente una manera de formular cuándo dos vectores son ortogonales. La mayoría de espacios de productos escalares se consideran un espacio vectorial normal de una forma natural.

3.2 DEPENDENCIA LINEAL

Un conjunto de vectores en un espacio vectorial se dice linealmente dependiente, si entre ellos hay alguno que se puede escribir como combinación lineal de los demás, en otras palabras, si suponiendo que depende linealmente de los restantes, debemos de tener

Para ciertos escalares diferentes de cero.

Cuando lo anterior es imposible para cada vector diremos que el conjunto es linealmente independiente.

Un criterio para checar independencia lineal de un conjunto es el siguiente:

Un conjunto es linealmente independiente si y sólo si la ecuación tiene como única solución

Ejemplo: Indique si el siguiente conjunto de vectores es linealmente independiente:

Solución: Debemos ver cómo deben ser las constantes c1, c2 y c3 para que: c1x1 + c2x2 + c3x3 = 0

El sistema anterior tiene matriz aumentada que al reducirla queda:

Como el sistema tiene solución única c1 = 0, c2 = 0 y c3 = 0 se deduce que la única forma de combinar los vectores x’s para que den el vector cero es la que tienen todos los coeficientes cero. Por tanto, el conjunto de vectores es linealmente independiente.

Hay otras pruebas que no reemplazan a proceso de reducción en lo general, pero cuando aplican ahorran trabajo:

Algunas pruebas de Dependencia Lineal

Si el conjunto solo tiene un vector, el conjunto es linealmente dependiente si y solo si el vector es el vector cero.

Si el vector cero pertenece a un conjunto de vectores, el conjunto es linealmente dependiente.

Si en un conjunto de vectores aparecen vectores repetidos el conjunto es linealmente dependiente.

Si el conjunto consta de más de dos vectores: el conjunto es linealmente dependiente si y solamente si un vector del conjunto es combinación lineal de los restantes.

Si en un conjunto de vectores uno de ellos es múltiplo escalar de otro el conjunto es linealmente dependiente.

Si el conjunto consta de más de dos vectores y el primer vector no es el vector cero: el conjunto es linealmente dependiente si y solamente si un vector del conjunto es combinación lineal de los vectores anteriores en el conjunto.

Si un conjunto de vectores contiene un subconjunto de vectores que es linealmente dependiente, el conjunto es a su vez linealmente dependiente.

Si un conjunto de vectores es linealmente independiente, entonces cualquier subconjunto de él también será linealmente independiente.

3.3 CONCEPTO DE BASE

Definición: Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente.

Propiedades de las bases.

1. Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño posible).

2. Además es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo más grande posible).

3. Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella, de manera única para cada vector.

Ejemplos de bases.

1. La base canónica (o base natural, o base estándar) de ℜn:

e1 = (1, 0,. . . ,0)

e2 = (0, 1,. . . ,0)

........

En = (0, 0,. . . ,1)

- Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo.

- Son sistema generador de ℜn porque todo vector (a1, a2,. . ., an) ∈ ℜn se puede expresar como combinación lineal de ellos:

(a1, a2,. . ., an)= a1(1,0,. . . ,0)+ a2(0,1,. . . ,0)+ . . . + an(0,0,. . . ,1)

3.4 CAMBIO DE BASE DE UN VECTOR

Definición: Coordenadas.

En un espacio vectorial V, fijada una base {v1,v2,. . . vn} , todo vector u∈V puede ponerse de forma única como combinación lineal de dicha base:

u = α1 v1 + α 2 v2 + . . . αn vn

Los escalares α1, α2, . . . , αn se llaman coordenadas del vector u en la base {v1,v2,. . . vn}.

Ejemplos de coordenadas.

1. Coordenadas en distintas bases.

Enℜ2 fijemos la base canónica, { (1,0), (0,1) }. Consideremos el vector v=(1,2). Para hallar sus coordenadas en esta base, ponemos u como combinación lineal de la misma: (1,2)=1•(1,0) + 2•(0,1)

Por tanto, (1,2) son las coordenadas de v en

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