Aplicacion De Espacios Vectoriales

Espacios Vectoriales

Definición

Un espacio vectorial es un objeto básico en el algebra lineal, compuesto de elementos vectoriales mejor conocidos como vectores, estos se pueden multiplicar por un escalar o sumarse entre ellos, los vectores proporcionan una indeterminada forma que deja atrás las coordenadas, un espacio vectorial no puede estar vacio. Un espacio vectorial es un conjunto de objetos (llamados vectores) que pueden escalarse y sumarse.

Un espacio vectorial requiere de un cuerpo de escalares K (como el cuerpo de los números reales o el cuerpo de los números complejos). Un espacio vectorial es un conjunto V (no vacío) a cuyos elementos se llaman vectores, dotado de dos operaciones:

• suma de vectores: cualquiera dos vectores v y w pueden sumarse para obtener un tercer vector v + w

• producto por un escalar: cualquier vector v puede multiplicarse por un escalar, i.e. un elemento de K, a. El producto se denota como av.

Propiedades

Unicidad del vector nulo

Unicidad del opuesto de un vector

Producto por el escalar cero 0 v = 0. El 0 es el único escalar que cumple esta propiedad.

Producto de un escalar por el vector nulo a 0 = 0

Opuesto del producto de un vector por un escalar - (a v) = (-a) v = a (-v)

SUBESPACIO

Definición

H es una parte(no vacia) del espacio vectorial V, y H a través de operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas por V, se dice que H es un subespacio de V, H hereda operaciones del espacio vectorial padre(V).

Propiedades de un Vector

*Propiedad asociativa de la suma

u + (v + w) = (u + v) + w

* Propiedad conmutativa de la suma

v + w = w + v

*Existencia de elemento neutro o nulo de la suma

Existe un elemento 0 ∈ V, llamado vector cero o nulo, de forma que v + 0 = v para todo v ∈ V.

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