APLICACIONES DE ESPACIOS VECTORIALES EN FÍSICA

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TRABAJO GRUPAL NRO. 3

TEMA: ESPACIOS VECTORIALES

GRUPO #4

Universidad Central del Ecuador

Stefhanía Girón

Diana Pullupaxi

Jandry Casquete

Alexis Safla

Facultad de Ciencias Económicas

Carrera de Economía, EC2-003

22 de marzo de 2021 

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APLICACIONES DE ESPACIOS VECTORIALES EN FÍSICA

El espacio físico es un espacio de hilbert es decir un espacio vectorial que además tiene como operación externa el producto punto. Un punto del espacio está dado por el vector posición[pic 3]  cuya magnitud de las componentes es en metros. La fuerza es también una magnitud vectorial de la forma[pic 4]  pero a diferencia del espacio las componentes tienen otra magnitud, el newton. Así que son dos espacios vectoriales diferentes. Pero que se relacionan, así por ejemplo en el punto métrico [pic 5]se aplica una fuerza {F}_{0} =({x}_{0}[N],{y}_{0}[N], {z}_{0}[N]) ¿Estos son dos aspectos vectoriales de una misma cosa o son dos espacios vectoriales relacionados? Pues, Son dos espacios vectoriales diferentes, que deberán tener en común una base de vectores adimensionales, determinada por el sistema de coordenadas utilizada. Aunque es muy frecuente en ejercicios de Física dibujar velocidades o fuerzas en sistemas de coordenadas de posiciones, por ejemplo, en realidad deberían dibujarse en lo que se llamaría el espacio de velocidades o el espacio de fuerzas. Recordemos que los espacios vectoriales son herramientas matemáticas para representar la realidad. El espacio de posiciones es un elemento (en realidad de un espacio afín) que se usa para representar las posiciones de partículas puntuales. Dichas posiciones, y entonces los vectores que las representan evolucionan en el tiempo, y sus derivadas constituyen un nuevo espacio vectorial que es el de velocidades. Análogamente definiremos el de aceleraciones, que de acuerdo con la 2ª ley de Newton está relacionado con un cuarto espacio vectorial que es el de fuerzas. ¿Por qué necesitamos manejar un espacio vectorial diferente cada vez que planteamos una nueva magnitud? Por una sencilla razón: el propio concepto de espacio vectorial, como conjunto de elementos para los que se definen operaciones *entre sí* y sobre un cuerpo asociado (el de los números reales o el de los complejos) según unas reglas determinadas. En definitiva, cuando "metemos en el mismo saco" posiciones y fuerzas, por ejemplo, estaremos mezclando elementos que necesariamente pertenecen a dos espacios vectoriales diferentes, toda vez que no hay operaciones lícitas (propias de un espacio vectorial) que se puedan realizar entre ellos; así, por ejemplo, no podemos sumar una posición con una aceleración. De todos modos, esto no debe confundirnos: hay reglas (leyes físicas) que establecen relaciones entre unos y otros, tales como,  [pic 6]pero que son propias, en su aplicación, de cada sistema físico: la relación existente entre los espacios de posiciones y de fuerzas para un satélite y para una pluma arrastrada por el viento sólo tienen en común las leyes de la Mecánica, pero nada más, puesto que las propias fuerzas guardan relaciones con las coordenadas y velocidades que son bien diferentes en cada caso (es decir, las expresiones de las no son las mismas).

APLICACIÓN DE ESPACIOS Y SUBESPACIOS VECTORIALES EN MATEMÁTICAS

Un espacio vectorial es un conjunto no vacío V de objetos, llamados vectores, en el que se han definido dos operaciones: la suma y el producto por un escalar (número real) sujetas a los diez axiomas que se dan a continuación. Los axiomas deben ser válidos para todos los vectores en V y todos los escalares [pic 7][pic 8]

Propiedades de los espacios vectoriales

A partir de los axiomas de espacios vectoriales, pueden demostrarse estas propiedades que resultan «naturales»:

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