Espacios vectoriales. ALGEBRA LINEAL

ALGEBRA LINEAL

CONTENIDO A SER EVALUADO EN EL PRIMER PERIODO 2017

Parte 3. Espacios Vectoriales

3.1. Definición de Espacio Vectorial

Se denomina espacio vectorial sobre un cuerpo K a todo conjunto V no vacío que posea unas operaciones de suma y producto por escalares. Los elementos de tal conjunto se llamarán vectores. El espacio vectorial es real o complejo, según sean los escalares. De manera que: si u, v, w son elementos cualquieras de V (denominados vectores);  son escalares del cuerpo K, entonces se verifican los siguientes axiomas:

Si u,v e V entonces u + v e V La suma es cerrada en V

Si u,v, w e V entonces (u+v) + w = u + (v + w) Asociativa de la suma

Existe un vector 0 e V tal que para todo v e V; 0 + v = v + 0 = v

Si v e V existe un vector –v e V tal que v + (–v) = 0 ( opuesto de v)

u + v = v + u Conmutatividad de la suma de vectores

Si v e V y  es un escalar v e V El producto escalar es cerrado en V

 u + v) = u+v 1° Ley distributiva

( u = u +u 2° Ley distributiva

u = u) Asociativa del producto escalar

Para todo v e V 1v = v

Significa entonces que en la definición de espacio vectorial, el cuerpo o campo numérico K de los escalares puede ser el o el conjunto R (números reales) o el conjunto C (números complejos). Respecto a los axiomas de la definición, los seis primeros implican propiedades de la suma de vectores, en tanto que, los cuatro axiomas restantes implican propiedades del producto de un escalar por un vector. Algunos ejemplos de conjuntos que constituyen espacio vectorial son los siguientes:

El conjunto {Pn(x)} de polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual a n

El conjunto V de funciones reales continuas en el intervalo [ 0,1]

El conjunto de matrices de orden mxn cuyos elementos son números reales.

El conjunto de las n–plas.V = Kn donde: Kn = { (, ) con ne N \ e K}

Teorema 3.1. Supongamos que V es un espacio vectorial V sobre un cuerpo K, entonces se cumple que:

i) 0 = 0 para todo escalar

ii) 0x = 0 (xeV

iii) Si x = 0 entonces x = 0 (o ambos)

iv) –1.x = – x (xeV

Ejercicios.

1. Demostrar que el conjunto de vectores L = {(x,y) \y = –x } es un espacio vectorial sobre el cuerpo R.

Solución

i) Si u, v e L ( u = (a,b)\b = – a y v = ( c,d)\d = – c ( b+d = –a +(– c) = –(a +c) ( u+v = (a,b)+(c,d) = (a+c,b+d) \ b+d = – (a+c) entonces u+v =(a+c, b+d)eL

ii) Si u, v,w e L ( (u+v) + w= (a+c,b+d) + (e,f) = (a+c+e,b+d+f) = (a,b) +(c+e, d+f) = u+(v+w)

iii) Existe un vector 0 e V \ (v e V; 0 + v = v + 0 = v

0 = (0,0) \ 0 = – 0( 0 e L; si v =(a,b)e L(0 +v = (0+a ,0+b) =(a+0 ,b+0) =(a,b)= v+0 = v

iv) Si v e V existe un vector –v e V tal que v + (–v) = 0.

Probaremos este axioma mediante la reducción a lo absurdo. Supongamos que veL pero no – v, entonces, significa que: –v = (–a,–b) \ –b ≠ –(–a)=a .Es decir, –b ≠ a. Ahora bien, sumando b en ambos miembros: b–b ≠ a +b ( 0 ≠ a+b. Sumando –a en ambos miembros –a+0 ≠ –a +a+b( –a ≠ b. Pero esto contradice el hecho que v e L. entonces el axioma queda probado, dado que se llegó a una contradicción cuando se partió de la hipótesis según la cual dicho axioma no era cierto.

v) u + v = (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) = ( c+a , d+b) = v + u

vi) Si v e L y  es un escalar v = (a , b) = (a , b). Ahora bien como b = – a entonces b = (–a) = –b =>v = (a , b) e L

vii)  u + v) = a+c , b+d) = (a+c, b+d)=(a, b)+(c ,d) =(a,b) + (c,d)= =u + v Se cumple la 1° Ley distributiva

viii) (u = ((c,d)(c , (d(cc , ddc, d) + (c, d) c,d) + c, d) = u +u Se cumple la 2° Ley distributiva

ix) u = (c,d) = (c, d) = c, d)=c,d] =u)

x) Si veL;v= (a,b)\b = –a. Pero b = –a = ( b =1.b = – a = –1.a. Entonces se cumple que: v = (a ,b) \ b = – a ((1.v = (1.a, 1.b) \ 1.b = –1.a . Por lo tanto: 1.v e L

2. Demostrar que V = {(x)} denominado conjunto de polinomio con coeficientes reales de grado≤ 2, es un espacio vectorial sobre R.

Solución

i) u + v e V

Supongamos que u, v e V ( u = a0 + a1x +a2x2 ; u = b0 + b1x +b2x2 donde ai , bi e R.

u+v = (a0 + a1x +a2x2 ) + (b0 + b1x +b2x2) = (a0+b0) +(a1+b1)x +(a2+b2)x2 e V

ii) (u+v) + w = u + (v + w)

Supongamos que u, v, w e V ( u = a0 + a1x +a2x2 ; v = b0 + b1x +b2x2 ; w = c0 + c1x +c2x2 donde ai , bi , ci e R.(

(u+v) + w = [(a0 + b0) +(a1 + b1) x + (a2+b2) x2] + (c0 + c1x +c2x2) =

[(a0 + b0+c0) +(a1 + b1+c1) x + (a2+b2+c2) x2] = (a0 +a1x + a2x2)+[(b0 + c0)+(b1 + c1) x + (b2+c2) x2] = u+(v + w)

iii) Existe un vector 0eV tal que para todo v e V; 0 + v = v + 0 = v.

Existencia del polinomio cero de grado ≤ 2. En efecto: 0 = (0 +0x +0x2) e V \ si v e V

0 + v = (0 +0x +0x2) +( a0 + a1x +a2x2) = (0 + a0) + (0+a1) x +(0 +a2) x2 = (a0 + 0)+ ( a1+0) x +(a2 +0)x2 =(a0 + a1x +a2x2) +(0 +0x +0x2) = v + 0

iv) Si v e V existe un vector –v e V tal que v + (–v) = 0 (opuesto de v)

v e V( v = a0 + a1x +a2x2 con ai eR. Esto significa que para todo ai existe –ai, por lo tanto existe (–a0) + (–a1x) +(–a2x2) = –v e V \ v+(–v) = ( a0 + a1x +a2x2)+ [(–a0) + (–a1x) +(–a2x2)] = [a0+(–a0)] +[a1+(–a1)]x + [a2+(–a2)]x2 = 0 + 0x +0x2 = 0

v ) u + v = (a0 + b0) +(a1 + b1) x + (a2+b2) x2 = (b0 + a0) +(b1 + a1) x + (b2+a2) x2 = v + u

vi) Si v e V y  es un escalar v e V

v e V( v = a0 + a1x +a2x2 ( v = a0 + a1x +a2x2) = [(a0) + (a1)x +(a2)x2]eV.

vii)  u + v)=[(a0 + b0)+(a1 + b1) x+(a2+b2) x2] = (a0+b0)+(a1+b1) x + (a2+b2) x2

= (a0)+(a1)x+(a2)x2+(b0)+(b1)x+(b2)x2 =  a0 + a1x+a2x2)+ b0+b1x +b2x2) = u + v Se cumple la 1° Ley distributiva

viii) (u = (a0 + a1x +a2x2) = a0 + a1x +a2x2)a0 + a1x +a2x2)= u +u. Se cumple la 2° Ley distributiva

ix) u = (a0 + a1x +a2x2) = (a0) + (a1)x +(a2)x2 = a0) + a1)x +a2)x2 = a0) +a1)x+a2)x2] = u). Asociativa del producto escalar

x) Si veV entonces: v= a0 + a1x +a2x2). Pero ai = 1.ai (ieN entonces 1.v= 1.a0 + a1x +a2x2) = (1.a0 + 1.a1x +1.a2x2)eV

3. Justifique dos razones por las cuales el conjunto L = {(x,y) eR2 / y = mx+1 } no es un espacio vectorial sobre R y exponga un ejemplo concreto.

Solución

Si u, v e L; u = (a,b) / b = ma + 1 y v = (c,d)/ d = mc+1 entonces u+v =(a,b)+(c,d) = (a+c,b+d) / b+d = (ma+1)+(mc+1) =ma+mc+2 =m(a+c) +2 ≠ m(a+c) +1 como debería

ser, si u+v eL fuera cierto. Entonces en L no se cumple el axioma i de la definición de espacio vectorial, es decir, la suma no es cerrada en L. La otra razón es que en L no hay vector nulo debido a que 0 = (0,0) / 0 = m.0 ≠m.0+1 como debería de ser si 0eL fuera cierto. Un ejemplo concreto, es dando un valor real a la pendiente m de la definición de L. Si m = 3 entonces L = {(x,y) eR2 / y = 3x+1 } u = (1,4) eL y v =(0,1) eL sin embargo u+v = (1,4) +(0,1) = (1,5) pero resulta que 5 ≠ 3.1 +1= 4 como debería ser si la suma de estos vectores perteneciera a L, por lo tanto u+v no pertenece a L.

3. Para cada conjunto diga si es o no un espacio vectorial. En caso de afirmación explica brevemente por qué se cumplen los axiomas, de lo contrario, indica cuales axiomas no se cumplen y explica por qué.

a) El conjunto de naturales N como vectores, el conjunto de naturales N como escalares y la operación de multiplicación para números naturales.

No; en primer lugar, el vector 0 no pertenece a N (axioma iii), además, los vectores de N no tienen opuesto en ese conjunto (axioma iv). En segundo lugar los naturales no aplican como escalares (axiomas vi,vii,viii, ix) pues en N no existe el inverso multiplicativo.

b) El conjunto de naturales N como vectores, el conjunto de naturales N como escalares, la operación de suma para números naturales y la multiplicación entre números naturales para la operación de multiplicación de escalar y vector.

No, por las razones expuestas en el ejemplo anterior

c) El conjunto

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