Tarea 2 - Sistemas de ecuaciones lineales, rectas, planos y espacios vectoriales

Unidad 2: Tarea 2 - Sistemas de ecuaciones lineales, rectas, planos y espacios vectoriales

MARIA FERNANDA PEREZ FLOREZ

1094284373

UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

ALGEBRA LINEAL

23-11-2019

INTRODUCCIÓN

La solución de los sistemas de ecuaciones lineales encuentra una amplia aplicación en la ciencia y la tecnología. Es por eso, que, dentro de los planes de estudio de las carreras de ingeniería de la UNAD, en la materia Algebra lineal, se incluya el tema solución de sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss Jordán, por las ventajas que este ofrece. Recordemos que en las últimas décadas él. Algebra Lineal se ha convertido en una parte muy importante de las matemáticas, aportando significativamente al desarrollo con sus aportes a las ciencias informáticas, ya que todo gira actualmente en torno a los sistemas computacionales. Por otra parte, estas herramientas de aprendizaje se convierten en un referente muy valioso, que brindan un acompañamiento muy interesante en este tipo de educación autónomo. La presente actividad está relacionada con la realización de diferentes ejercicios presentados en el Algebra Lineal, tales como Sistemas de Ecuaciones Lineales, a través de la utilización de los diferentes métodos: de gauss, de eliminación gaussiana, regla de cramer, empleando la factorización y la matriz inversa.

OBJETIVOS

Identificar conceptos de sistemas de ecuaciones lineales, eliminación gaussiana, factorización LU, la matriz inversa, rectas en R3, planos, espacios vectoriales, entre otros, ponerlos en práctica reconociendo su importancia y aplicabilidades. Entender claramente todas las operaciones que podemos poner en práctica y con las cuales realizaremos soluciones a problemas presentados, utilizando las herramientas apropiadas.

1. ¿Qué son planos en R3?, ¿Cómo se determina la ecuación de un plano?, ¿Cuáles son las posiciones relativas?

[pic 1]

1. Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales, resuélvalo aplicando el método de Gauss Jordan, valide el resultado y grafique las rectas o planos correspondientes con Geogebra*. Luego analice las características de las rectas o planos obtenidos y clasifique el sistema de ecuaciones en consistente o inconsistente y según el tipo de solución.

6X1 + 4X2 + 2X3 = 2

5X1 + 3X2 + 4X3 = 2

-X1  –  X2  +  X3  = -1

El sistema de ecuaciones lineales, al resolverlo empleando el método de Gauss Jordan se obtiene:

x₁ = -4

x₂ = 6

x₃ = 1

La gráfica se puede ver en la imagen adjunta.

Explicación:

Datos;

6x₁ + 4x₂ + 2x₃ = 2

5x₁ + 3x₂ + 4x₃ = 2

-x₁ - x₂ + x₃ = -1

El método de Gauss Jordan para la resolución de sistemas de ecuaciones plantea, hallar una matriz Mx = I, siendo I la matriz identidad.  

[pic 2]

Sustituir;

[pic 3]

-f₃ → f₁

[pic 4]

f₂ - 5f₁

f₃ - 6f₁

[pic 5]

-1/2f₂

[pic 6]

f₃ + 2f₂

[pic 7]

-f₃

[pic 8]

f₁ + f₃

f₂ + 9/2f₃

[pic 9]

f₁ - f₂

[pic 10]

 [pic 11]

1. Demostrar que la recta  [pic 12][pic 13] y el plano [pic 14][pic 15], son paralelos

De la recta:

[pic 16] 

[pic 17] 

Del plano:

[pic 18] 

Dada la ecuación del plano se extraen dos puntos pertenecientes a este, para encontrar el vector director, llevando a cero dos de las componentes:

...