Algebra lineal - Espacios Vectoriales

ESPACIOS VECTORIALES

Tabla de contenido

ESPACIOS VECTORIALES        3

DEFINICION (Espacio Vectorial)        3

Vectores          5[pic 1]

COMBINACION LINEAL        5

SUBESPACIO VECTORIAL        7

COMBINACIONES LINEALES Y ESPACIO GENERADO        8

DEPENDENCIA  LINEAL   E  INDEPENDENCIA  LINEAL        10

BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL        13

DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL        14

CAMBIO DE BASE        15

RANGO Y NULIDAD        16

TEOREMA(del Rango)        18

GUIA DE EJERCICIOS        19

ESPACIOS VECTORIALES

El objetivo  es alcanzar  una  presentación eficiente de la información  a través del lenguaje  que  proporcionan   conceptos elementales como son  los vectores, combinaciones  lineales, matrices, funciones, sistemas de ecuaciones lineales,  los cuales adecuadamente entrelazados  permiten  lograr una forma de ordenar la información y acceder rápidamente a ella, para   modelar situaciones  reales  que permiten estudiar comportamiento de sistemas complejos,  variar condiciones con el fin de hacerlos más eficientes.

DEFINICION (Espacio Vectorial)

                   Un conjunto V constituye  un espacio vectorial  sobre el  cuerpo  (K, +, ⋅)  si  en este conjunto  V (vectores) es posible definir una operación interna  + (suma vectorial)   y  una operación   externa  ⋅   (ponderación escalar)

V  con la suma vectorial definida  +: VxV → V  cumple:

1.       Ley de composición Interna.[pic 2]
2.     Asociatividad de la Suma.[pic 3]
3.       Elemento Neutro [pic 4][pic 5]
4.     Elemento Opuesto (–v)[pic 6]
5.     Conmutatividad de la Suma.[pic 7]

La  operación  externa  ⋅  definida  ⋅ : K x V → V  cumple:

1. ;  Ley de composición externa.[pic 8]
2. [pic 9]
3. [pic 10]
4. [pic 11]
5. [pic 12]

Notación

Para  señalar   que   V es un espacio vectorial sobr e  K,  se  escribe   (V, + , ∙ , K) ,  que se  denota VK  de aquí en adelante.

El  cuerpo  K  puede  ser  el  de los números  reales  IR,  números racionales  Q,  números A los elementos de V se les llama, genéricamente, “vectores” y a los elementos de K se les llama “escalares”.

En general anotamos  en lugar de. Esta es la ponderación de un vector por un  escalar y  no constituye  una  multiplicación. [pic 13][pic 14]

Proposición

           En el espacio vectorial    VK    sobre el cuerpo  K   se cumple:

1. Los vectores  0v   y (–v),   cuya existencia garantiza c)   y   d) de la definición de espacio  vectorial,   son   únicos.
2. La ponderación del vector nulo por cualquier escalar produce el vector nulo:[pic 15]
3. La ponderación de cualquier vector por el escalar nulo produce el vector nulo.0v = 0
4. [pic 16]

Demostración (c)

Sea    0∈ K,  v ∈ V ,  en  K  se tiene que  0 = 0 + 0, por lo tanto

                                                                           ( suma en K)[pic 17]

                                             / + (                 (suma en V)[pic 18][pic 19]

                                      (Asociatividad de  + en V)→∀∃[pic 20]

                                                        (Asociatividad de  + en V                                                           [pic 21]

                                   .                             (Elemento Opuesto  en  V)[pic 22]

                                     0 =   0v                                              (Elemento  Neutro en V)

Ejemplo

1. El conjunto de los vectores IRn con las operaciones  +  ∧  ⋅  estándares es un espacio vectorial sobre IR,  en que los tres casos especiales n= 1( números reales), n= 2(vectores en el plano), n = 3 (vectores en el espacio) son los más importantes.
2.  IRIR   es  un espacio vectorial  con las operaciones  +  ∧  ⋅  usuales,  es  decir,  se puede ver  al  real   s   como  el  vector   s    o  bien  como  el  escalar   α = s,   ya que  IRIR   cumple con todas las propiedades que definen  a  un espacio vectorial.
3. El conjunto  de los vectores  IR2 es un espacio vectorial sobre  IR
4. El conjunto de  las   matrices   cuadradas de orden  n :  Mn sobre un cuerpo  K ( IR o C)  constituye un espacio vectorial
5. Si  V   es el conjunto de las funciones con valores reales definidas en [a,b] ⊆ IR,    

       f= f(x),   g= g(x)  funciones  en V, α  cualquier número real , se definen:

                        (f + g)(x)  = f(x) + g(x)   ∀f, g vectores en V

                               (αf)(x) =  αf(x)         ∀ f vector,  ∀α escalar

Se tiene que  VIR  es un espacio vectorial,  note que el 0 vector es la función  nula f(x) =0 para todo x (gráficamente  el eje x),  el opuesto  de f  es la función  - f ( geométricamente sus gráficas son simétricas respecto  del  eje x),  la ponderación de f  geométricamente corresponde  a  una curva  paralela a f  a  la distancia  α  si  α > 0,  y  a  la  distancia ¿? Si  α< 0.

...