Unidad 3 álgebra lineal. Espacios Vectoriales

Tarea 3_ Espacios Vectoriales

Presentado por:

Angie Lisseth Muñoz Quientero

Código: 1007761322

Grupo:_162

Tutor:

Manuel  Alejandro Gutierrez

Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD

Escuela de Ciencias de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería

Ingeniería Industrial

Algebra Lineal

Pitalito

Introducción

El presente trabajo contiene el desarrollo de la tarea 3 espacios vectoriales, la cual consta de 6 ejercicios, donde se estudiaran las temáticas de  Espacios vectoriales, combinación lineal, independencia y dependencia lineal, espacios generadores, rango de una matriz,  base de un espacio vectorial. Dando así solución a los ejercicios planteados.

Ejercicio 1

Mapa mental

Enlace: https://www.goconqr.com/es-ES/p/18016860-Norma-y-producto-interno-mind_maps

[pic 2]

Ejercicio 2

Demostraciones matemáticas a partir del uso de axiomas, propiedades y operaciones relacionadas con espacios vectoriales.

Descripción del ejercicio 2

       Dados:

1.  U = <3,4>; α = 8; β = 3 que pertenecen a un espacio vectorial V, demuestre el axioma número 8 denominado Ley distributiva; siendo α y β variables escalares.

Solución: (Punto a)

 Se aplica la ley distributiva del octavo axioma:

Octavo axioma: Si x Є V y α y β son escalares, entonces (α + β) x = αx + βx

 [pic 3]

[pic 4]

[pic 5]

[pic 6]

1. U = <3, 4,10>; W = <8, 5, 6>; V= <11, 9,16> vectores  que pertenecen a un espacio vectorial V, demuestre el axioma número 1  denominado Ley de la cerradura; siendo que V es el vector resultante de la suma de vectores.

Solución: (Punto b)

Dado a  que estos vectores  cumplen con la ley de cerradura, la cual establece que sean dos vectores que pertenecen a un espacio vectorial, el vector resultante de la suma de los mismos pertenece también al espacio vectorial esto quiere decir que (U1+U2 = U3 pertenece también al espacio vectorial).

Como: los vectores   pertenecen al espacio vectorial[pic 7]

Para demostrar el axioma se toma: [pic 8]

 U+W = <3, 4,10> + <8, 5, 6> = <11, 9,16> = V           

Por consiguiente se  observa que,  V pertenece al espacio vectorial y por lo tanto con estos vectores se cumple la ley de cerradura.

Ejercicio 3. Demostraciones matemáticas a partir del uso de conjuntos generadores y combinación lineal.

Descripción del ejercicio 3

1. El vector U pertenece al espacio vectorial V. Demuestre que el subconjunto de vectores S es un conjunto generador de R3

[pic 9]

[pic 10]

Desarrollo:

Se tiene como conjunto

, cualquier vector en R3, se deben buscar escalares  tales que:[pic 11][pic 12]

[pic 13]

Esto origina el sistema:

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

Los vectores generan en R3, ya que cualquier vector [pic 20]

1. Encontrar los valores de m y n que garanticen que la matriz U sea una combinación lineal de las matrices A y B. Justificar la respuesta.

Datos:

        [pic 21]

        [pic 22]

        [pic 23]

        [pic 24]

Desarrollo:

        [pic 25]

        [pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

Ejercicio 4 Demostraciones matemáticas a partir del uso de rango de una matriz, dependencia e independencia lineal.

Descripción del ejercicio 4

X = < 1, 3,5 >; Y = < 2, 4,5>; Z= <1, 0,2>

Agrupe estos tres vectores de un espacio vectorial, en una matriz y calcule:

...