ÁLGEBRA LINEAL UNIDAD 4

4.1 Definición de espacio vectorial.

Un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y un cuerpo matemático), con 8 propiedades fundamentales. A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores ya los elementos del cuerpo, escalares.

Espacio vectorial real

Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, llamados vectores, junto con dos operaciones llamadas suma y multiplicación por un escalar que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación.

Notación. Si x y y están en V y si a es un número real, entonces la suma se escribe como x + y y el producto escalar de a y x como a x.

AXIOMAS DE UN ESPACIO VECTORIAL

1. Si x V y Y V, entonces x+y V

2. Para todo x,y y z en V, (x+y)+z = x + (y +z) (ley asociativa de la suma de vectores)

3. Existe un vector 0 V tal que para todo x V, x+0 = 0+x=x

i. (el 0 se llama vector cero o idéntico aditivo)

4. Si x V, existe un vector –x en V tal que x + (-x) = 0 (-x se llama inverso aditivo de x)

5. Si x y y están en V, entonces x+y= y+x (ley conmutativa de la suma de vectores)

6. Si x V y a es un escalar, entonces a x V ( cerradura bajo la multiplicación por un escalar)

7. Si x y y están en V y es un escalar, entonces (x +y) = x + y (primera ley distributiva)

8. Si x V y y son escalares, entonces ( + )x = x+ x (Segunda ley distributiva)

9. Si x V y y son escalares, entonces y (x) = (y)x (ley asociativa de la multiplicación por escalares)

10. Para cada vector x V, 1x= x

Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos llamados vectores, junto con dos operaciones, llamadas suma y multiplicación por un escalar que satisfacen diez axiomas que se muestran enumerados a continuación.

Notación. Si x y y están en V y si α es un número real, entonces escribiremos x + y para la suma de x y y y α x para el producto escalar de α f x.

4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades.

Sub espacio vectorial:

Esto dice que si W es un sub conjunto del espacio vectorial V entonces este es un sub espacio de V. Si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V.

Para que W sea un sub espacio de V debe cumplir las propiedades de cierre de la suma y la multiplicación por un escalar también debe cumplir la ley del elemento neutro bajo la suma, el inverso bajo la suma y el neutro bajo la multiplicación por un escalar.

PROPIEDADES DE LOS SUBESPACIOS VECTORIALES EN LA ADICIÓN

3. Propiedad Asociativa:

4. Elemento Neutro:

5. Elemento Inverso

PROPIEDADES DE LOS SUBESPACIOS VECTORIALES EN LA MULTIPLICACIÓN POR UNESCALAR:

4.3 Combinación lineal. Independencia lineal.

COMBINACIÓN LINEAL

Sean v1, v2, …, vn, vectores en un espacio vectorial V. entonces cualquier vector de la forma: a1v1+a2v2+…+anvn, donde a1,a2,…,an son escalares se denomina una combinación lineal de v1, v2,…,vn.

Conjunto generador.

Se dice que los vectores v1, v2, …, vn de un espacio vectorial V generan a V si todo vector en V se puede escribir como una combinación lineal de los mismo. Es decir, para todo vÎV, existen escalares a1, a2, …, an tales que v=a1v1+a2v2+…+anvn

Cuatro vectores que generan a M22

Espacio generado por un conjunto de vectores.

Sean v, v2, …, vk, k vectores de un espacio vectorial V. el espacio generado por {v1, v2, …, vk} es el conjunto de combinaciones lineales v1, v2, …, vk. Es decir donde a1, a2, …, ak, son escalares arbitrarios.

Teorema: si v1, v2, …, vk son vectores en un espacio vectorial V, entonces gen{v1, v2, …, vk} es un subespacio de V.

Ejemplo: el espacio generado por dos vectores en R3

Sea v1=(2,-1,4) y v2=(4,1,6). Entonces H=gen{v1, v2}={v:v=a1(2,-1,4)+a2(4,1,6)}. ¿Cuál es la apariencia de H? si v=(x, y,z)ÎH, entonces tiene x=2a1+4a 2, y=-a1+a2 y z=4a 1+6ª 2. Si se piensa que (x, y, z) esta fijo, entonces estas ecuaciones se pueden ver como un sistema de tres ecuaciones con tres incognitas a1, a2. Este sistema se resuelve en la forma usual:

INDEPENDENCIA LINEAL

En el estudio del algebra lineal, una de las ideas centrales es la de dependencia o independencia lineal de los vectores. En esta sección se define el significado de independencia lineal y se muestra su relación con la teoría de sistemas homogéneos de ecuaciones y determinantes.

Existe una relación espacial entre los vectores , se puede apreciar que v2=2v1; o si se escribe esta ecuación de otra manera. 2v1-v2=0.

En otras palabras, el vector cero se puede escribir como una combinación no trivial de v1 y v2 (es decir, donde los coeficientes en la combinación lineal no son ambos cero). ¿Qué tienen de especial los vectores ? La respuesta a esta pregunta es más difícil a simple vista. Sin embargo, es sencillo verificar que v3=3v1+2v2; rescribiendo esto se obtiene.

Se ha escrito el vector cero como una combinación lineal de v1, v2, y v3. Parece que los dos vectores de la ecuación y los tres vectores de la otra ecuación tienen una relación más cercana que un par arbitrario de 2-vectores a una terna arbitraria de 3-vectores. En cada caso, se dice que los vectores son linealmente dependientes. En términos generales, se tiene la importante definición a continuación presentada.

Definición: sean v1, v2, …, vn vectores en un espacio vectorial V. entonces se dice que los vectores son linealmente dependientes si existen n escalares c1, c2, …, cn no todos ceros tales que .

Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes.

Para decirlo de otra forma, v1, v2, .., vn son linealmente independientes si la ecuación c1v1+c2v2+…+cnvn=0 se cumple únicamente para c1=c2=…=cn=0. Son linealmente dependientes si el vector cero en V se puede expresar como una combinación lienal de v1, v2,…,vn con coeficientes no todos iguales a cero.

Nota. Se dice que los vectores v1, v2, …, vn son linealmente independientes (o dependientes), o que el conjunto de vectores {v1, v2, …, vn} es linealmente independiente (o pendiente). Esto es, se usan las dos frases indistintivamente.

Teorema: dependencia

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