UNIDAD 1: "REGRESIÓN LINEAL SIMPLE Y CORRELACIÓN"

UNIDAD 1: “REGRESION LINEAL SIMPLE Y CORRELACION”

En estadística la regresión lineal o ajuste lineal es un método matemático que modela la relación entre una variable dependiente Y, las variables independientes Xi y un término aleatorio ε. Este modelo puede ser expresado como:

: Variable dependiente, explicada o regresando.

: Variables explicativas, independientes o regresores.

: Parámetros, miden la influencia que las variables explicativas tienen sobre el regresando.

Donde es la intersección o término "constante", las son los parámetros respectivos a cada variable independiente, y es el número de parámetros independientes a tener en cuenta en la regresión. La regresión lineal puede ser contrastada con la regresión no lineal.

El modelo lineal relaciona la variable dependiente Y con K variables explicativas (k = 1,...K), o cualquier transformación de éstas, que generan un hiperplano de parámetros desconocidos:

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donde es la perturbación aleatoria que recoge todos aquellos factores de la realidad no controlables u observables y que por tanto se asocian con el azar, y es la que confiere al modelo su carácter estocástico. En el caso más sencillo, con una sola variable explicativa, el hiperplano es una recta:

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El problema de la regresión consiste en elegir unos valores determinados para los parámetros desconocidos , de modo que la ecuación quede completamente especificada. Para ello se necesita un conjunto de observaciones. En una observación cualquiera i-ésima (i= 1,... I) se registra el comportamiento simultáneo de la variable dependiente y las variables explicativas (las perturbaciones aleatorias se suponen no observables).

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Los valores escogidos como estimadores de los parámetros, , son los coeficientes de regresión, sin que se pueda garantizar que coinciden con parámetros reales del proceso generador. Por tanto, en

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Los valores son por su parte estimaciones de la perturbación aleatoria o errores.

1.2.- SUPUESTOS

Para poder crear un modelo de regresión lineal, es necesario que se cumpla con los siguientes supuestos:

1. La relación entre las variables es lineal.

2. Los errores en la medición de las variables explicativas son independientes entre sí.

3. Los errores tienen varianza constante. (Homocedasticidad)

4. Los errores tienen una esperanza matemática igual a cero (los errores de una misma magnitud y distinto signo son equiprobables).

5. El error total es la suma de todos los errores.

1.3.- DETERMINACION DE LA ECUACION DE REGRESION.

Es el conjunto de técnicas estadísticas empleado para medir la intensidad de la asociación entre dos variables. El valor del coeficiente de correlación puede tomar valores desde menos uno hasta uno, indicando que mientras más cercano a uno sea el valor del coeficiente de correlación, en cualquier dirección. y sirve para hallar la predicción de cierto número.

Y SU FORMULA ES: Yn=a0+a1(n)

Si las líneas de regresión se colocan al ajustar las líneas visualmente entre los puntos de datos, pero para graficar estas líneas de una forma más precisa podemos utilizar una ecuación que relaciona las dos variables matemáticamente.

Usando esta ecuación podemos tomar un valor dado en X y calcular el valor de Y la a se denomina intersección en Y porque su valor es el punto en el cual la línea de regresión cruza el eje Y porque su valor es el punto en el cual la línea de regresión cruza el eje Y, es decir el eje vertical. La b es la pendiente de la línea, representa que tanto cada cambio de unidad de la variable independiente X cambia la variable dependiente Y. Tanto a como b son constantes numéricas, puesto que para cada recta dada, sus valores no cambian.

1.4.- MEDIDAD DE VARIACION.

Las medidas de dispersión, también llamadas medidas de variabilidad, muestran la variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número, si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de la mediana media. Cuanto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, cuanto menor sea, más homogénea será a la mediana media. Así se sabe si todos los casos son parecidos o varían mucho entre ellos.

Para calcular la variabilidad que una distribución tiene respecto de su media, se calcula la media de las desviaciones de las puntuaciones respecto a la media aritmética. Pero la suma de las desviaciones es siempre cero, así que se adoptan dos clases de estrategias para salvar este problema. Una es tomando las desviaciones en valor absoluto (Desviación media) y otra es tomando las desviaciones al cuadrado (Varianza).

La varianza es una medida estadística que mide la dispersión de los valores respecto a un valor central (media), es decir, es el cuadrado de las desviaciones:

Propiedades

• La varianza es siempre positiva o 0:

• Si a los datos de la distribución les sumamos una cantidad constante la varianza no se modifica.

c

• Si a los dato de la distribución les multiplicamos una constante, la varianza queda multiplicada por el cuadrado de esa constante.

• Propiedad distributiva: cov

1.5.- CALCULO DE LOS COEFICIENTES DE CORRELACION Y DE DETERMINACION.

La correlación es la medida de asociación entre variables. En probabilidad y estadística, la correlación indica la fuerza y la dirección de una relación lineal entre dos variables aleatorias. Se considera que dos variables cuantitativas están correlacionadas cuando los valores de una de ellas varían sistemáticamente con respecto a los valores homónimos de la otra: si tenemos dos variables (A y B) existe correlación si al aumentar los valores de A lo hacen también los de B y viceversa.

CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES DE CORRELACIÓN .

El coeficiente de correlación sirve para medir la correlación entre 2 variables. La ventaja que tiene este coeficiente sobre otras herramientas para medir la correlación, como puede ser la covarianza, es que los resultados del coeficiente de correlación están acotados entre -1 y +1. Esta característica nos permite comparar diferentes correlaciones de una manera más estandarizada.

El coeficiente de correlación se puede calcular con Excel mediante el comando “COEF.DE.CORREL”. También se puede calcular mediante la fórmula:

Siendo Cov (X,Y) la covarianza entre las series temporales X e Y, y σX e σY las desviaciones estándar de X e Y.

Interpretación

Como he mencionado antes,

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