Algebra Lineal Unidad 1

INDICE

1.1 Definición y origen de los números complejos…………………………...pag.2,3,4

1.2 Operaciones fundamentales con los números complejos………………...pag.4,5

1.3 Potencias de “I”, modulo o valor absoluto de un numero complejo……...pag.5,6

1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo……………………….pag.7,8

1.5 Teorema de De Moivre potencias y extracción…………………………pag.8,9,10

1.6 Ecuaciones polinómicas…………………………………………………...pag.11,12

Bibliografía………………………………………………………………………......pag.12

UNIDAD 1 COMPETENCIA: Manejar los números complejos y las diferentes formas de representarlos, así como las operaciones entre ellos para tener una base de conocimiento a utilizar en ecuaciones diferenciales y en diferentes aplicaciones de ingeniería.

U.1. Números complejos

1.1 Definición y origen de los números complejos:

Debido a que el cuadrado de cualquier número real es no negativo, una simple ecuación como x2 = -4 no tiene solución en el conjunto de los números reales. Para poder tratar con este tipo de situaciones tenemos que extender el conjunto de los números reales a un conjunto mayor, el conjunto de los números complejos.

Para poder obtener una solución de la ecuación x2 + 1 = 0, utilizamos el número i, tal que i2=1. Este número i no es un número real y se llama la unidad imaginaria, pero i2 si es un número real. La unidad imaginaria se utiliza en la siguiente definición de los números complejos.

Definición: Un número complejo z es una combinación lineal de la forma en donde a y b son números reales.

Al número a se le llama la parte real de z, a = Re(z), y al número b la parte imaginaria de z, b = Im(z).

A la expresión a + b i de un número complejo z se le conoce como la forma estándar de z.

Ejemplos:

z Re(z) Im(z)

7 + 5 i 7 5

-4 –3 i = -4 + (-3) i -4 -3

-9 i = 0 + (-9) i 0 -9

4 = 4 + 0 i 4 0

Decimos que dos números complejos z = a + b i, w = c + d i, son iguales z = w, si y solo si a = c y b = d.

Podemos visualizar a los números complejos asociándolos con puntos del plano. Hacemos esto que el número a + b i se corresponda con el punto (a, b)

1) Definición de un número complejo:

• es una combinación lineal formada por dos elementos una parte real y otra imaginaria

• es un evento de forma aleatoria que combina parte imaginarias puras

• es un orden de filas y columnas donde nunca se repite el primer elemento

• es un número ordenado donde se encuentran los positivos y los negativos

• es una reunión de dos o más vectores a la vez

2) Definición de un número complejo:

• no tiene solución en el campo de los reales

• es el que se encuentra en la recta numérica

• es un número real

• tiene una potencia muy pequeña

• no tiene una definición muy clara

3) Nombre del matemático que se le asocia con la aplicación de los números complejos:

• Euler

• Gauss

• Cramer

• Panck

• Aristóteles

4) Definición de un número complejo:

• Se tiene como de la forma a+bi

• se considera un número real

• se considera una permutación

• se considera una combinación

• no tiene una definición clara

5) Definición de un número complejo:

• cuando no tiene solución en el campo de lo reales

• cuando no se puede fraccionar en partes iguales

• cuando se forma ecuaciones sin solución

• Cuando se tiene una matriz identidad junta

• no tiene solución en el campo de los imaginarios

1.2 Operaciones fundamentales con los números complejos:

Adicción: Dados los complejos Z1 = (a;b) y Z2 = (c ;d). Se define Z1 + Z2 = (a; b) + (c; d) = (a +c; b+ d)

Sustracción: Se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo: Z1 + (-22) = (a; b) + (-c ; d) = (a – c ; b-d)

Multiplicación: Dados los complejos Z1 = (a ; b) y Z2 = (c ; d), se define Z1 * Z2 = (a*c-b*d; a*d + b*c)

Potenciación: La potenciación de un numero complejo con potencia natural, se resuelve como una multiplicación reiterada: Zn = (a ; b)n = (a ;b)1.(a ; b)2……(a ; b)n asociado de a dos pares los pares ordenados.

Forma Binomica: La forma Binomica de un numero complejo es: Z = a + bi

Operaciones de números complejos en su forma Binomica: La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando partes reales entre si y partes imaginarias entre sí.

• +(a +bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d) i

• -(a +bi) - (c + di) = (a-c) + (b-d) i

Multiplicación con números complejos: El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = -1 (a + bi) – (c + di) = (ac-bd) + (ad + bc) i

División con números complejos: El cociente de números complejos se hace racionalizando el denominador; esto es, multiplicando numerador y denominador por el conjugado de este.

Ejemplo:

(3 + 2i) + 8-7-i) = (3-7) + (2i – i) = -4 + i

= (5 + 3i) + {(-1 + 2i) + (7-5i)}

=(5 + 3i) + {(-1 + 7) + (2i – 5i)}

= (5 + 3i) + (6 – 3i)

= (5 + 6) + (3i – 3i)

= 11

1.3 Potencias de “I”, modulo o valor absoluto de un número complejo:

Potencias de la unidad imaginaria:

i0 = 1

i1 = i

i2 = −1

i3 = −i

i4 = 1

Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.

Ejemplo:

i22

i22 = (i4)5 • i2 = − 1

Valor absoluto: El valor absoluto, módulo

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