Algebra Lineal

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

UNI-NORTE

ESTELÍ, NICARAGUA

Matrices, Determinantes y Sistemas de Ecuaciones

Rigoberto Morales

Unidad I: Matrices, Determinantes y Sistemas de Ecuaciones

Lineales.

Objetivos

 Interpretar el concepto de matriz como un arreglo rectangular.

 Identificar los elementos, filas, columnas, diagonal principal y los distintos tipos de matrices.

 Desarrollar las operaciones básicas con matrices.

 Calcular el determinante de una matriz cuadrada.

 Definir la inversa de una matriz.

 Determinar la inversa de una matriz por diferentes métodos.

 Determinar el rango de una matriz.

 Resolver sistemas de ecuaciones lineales por diferentes métodos.

Contenidos

 Introducción.

 Definición de matriz. Notación.

 Clasificación de matrices (Algunos tipos de matrices).

 Operaciones con matrices.

 Determinantes. Definición. Cálculo de determinantes.

 Matrices inversas. Cálculo de la inversa por diferentes métodos.

 Rango de una matriz.

 Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales.

Introducción

Las matrices que se mencionaron por primera vez en Inglaterra a mediados del siglo pasado en los trabajos del Irlandés W. Hamilton, constituyen una de las aportaciones más valiosas y fructíferas a las matemáticas modernas, por la simplificación rotacional que permiten en la representación de problemas complejos en los que interviene un gran número de variables; así como por los avances que se lograron en el campo del álgebra lineal.

En las más diversas disciplinas, como la Física, la Ingeniería, la economía, la psicología o la administración, una gran cantidad de problemas que requieren del uso de muchas variables no podrían ser delimitados, planeados y resueltos por la notación simbólica del álgebra tradicional a causa de los pocos alcances que ésta otorga. La escritura matricial por su agilidad, brevedad y precisión suple esta deficiencia.

Las matrices tienen diversas aplicaciones en la ingeniería civil por ejemplo en el cálculo estructural para analizar la capacidad de carga y el diseño de elementos; en ingeniería de tránsito para generar matrices de información en la planificación de transporte y aforos vehiculares; en topografía para realizar resúmenes de datos y cuadricular terrenos para curvas de nivel; en dibujo asistido por computadora en el software Autocad; en estática para resolver problemas de equilibrio en el espacio en 3D con operaciones vectoriales; en hidráulica para hacer referencias del estudio de la pérdida de energía por accesorios (circuito cerrado) y en el análisis, diseño y distribución de caudales para la población; en análisis numérico para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial donde los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos, etc.

Definición de matriz

Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

Abreviadamente suele expresarse en la forma A = (aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.

Ejemplo

Las matrices

A = y B =

Son iguales solo sí: x =0 y = 1

Algunos tipos de matrices

Vamos a describir algunos tipos de matrices que aparecen con frecuencia debido a su utilidad, y de los que es conveniente recordar su nombre.

Atendiendo a la forma

Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1 x n. Ejemplo: A= [2, -3, 5]

Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m x 1. Ejemplo:

Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n x n. Ejemplo:

Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonal secundaria.

Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama transpuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera fila de At, la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc.

Ejemplo La matriz transpuesta de la matriz A

A = es At =

Propiedades de la trasposición de matrices

1. Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única.

2. (At)t = A.

Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aij = aji i, j.

Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = –At, es decir, si aij = –aji  i, j.

Ejemplos Consideremos las siguientes matrices:

Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que AT = A. Siendo así, A es simétrica.

Para B los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica.

A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni antisimétrica.

Atendiendo a los elementos

Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0.

Ejemplo [0, 0]

Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos.

Ejemplo

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