Álgebra Lineal - Sistemas de ecuaciones lineales
lalo870666Apuntes2 de Noviembre de 2015
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Notas
de
Sistemas
de
Ecuaciones
lineales
J.
Juárez
Palafox
Pág
1
1
Sistemas
de
ecuaciones
lineales
1.1
De.niciones.
De.nición.
Una
ecuación
lineal
de
n
variables
tiene
la
forma
de:
a1x1
+
a2x2
+
a3x3
+
·
·
·
+
anxn
=
b
donde
a1,
a2,
a3,
·
·
,
b
son
constantes
y
x1,
x2,
x3,
·
·
,
xn
son
las
variables.
De.nición.
Un
sistema
de
ecuaciones
lineales
de
n
ecuaciones
y
m
variables
está
dado
por:
.
.
>>>>>>.
.
>>>>>>.
a11x1
+
a12x2
+
a13x3
+
·
·
·
+
a1mxm
=
b1
a21x1
+
a22x2
+
a23x3
+
·
·
·
+
a2mxm
=
b2
·
·
·
an1x1
+
an2x2
+
an3x3
+
·
·
·
+
anmxm
=
bn
donde
a11,
a12,
a13,....,
anm,
son
constantes
y
x1,
x2,
x3,.....,
xm,
son
las
variables.
El
anterior
sistema
lo
podemos
simbolizar
con
matrices
como:
1
01
01
.
a11
a12
a13
::.
a1m
x1
b1
BBBBBB
.
a21
a22
a23
::.
a2m
a31
a32
a33
::.
a3m
·
·
·
·
BBBBBB.
CCCCCC.
x2
x3
·
·
CCCCCC
.
=
BBBBBB
.
b2
b3
·
·
CCCCCC
.
an1
an2
an3
::.
anm
xm
bm
esto
es:
AX
=
B
1
.
::.
a1m
a21
a22
a23
::.
a2m
a31
a32
a33
::.
a3m
a11
a12
a13
·
·
·
·
donde
A
=
BBBBBB.
CCCCCC
.
Es
una
matriz
conocida
0
an2
an3
b1
x1
an1
::.
anm
10
.
CCCCCC
.
BBBBBB
.
b2
b3
·
·
CCCCCC
.
y
X
=
BBBBBB
.
x2
x3
·
·
B
=
bm
xm
1
Notas
de
Sistemas
de
Ecuaciones
lineales
J.
Juárez
Palafox
Pág
2
1.2
Sistemas
de
ecuaciones
lineales
de
2
X
2
Si
en
nuestro
sistema
hay
pocas
variables
estas
se
pueden
simbolizar
con
literales
diferentes
p.
ej.
un
sistema
de
2
×
2
es:
a11x
+
a12y
=
b1
a21x
+
a22y
=
b2
Una
ecuación
lineal
de
dos
variables
representa
gra.camente
una
línea
recta,
por
lo
tanto
dos
ecuaciones
lineales
de
dos
variables
representan
dos
lineas
rectas.
Ejemplo.
Representa
gra.camente
el
siguiente
sistema
de
ecuaciones
lineales:
x
-
3y
=
11
5x
+
4y
=
17
246422xy
Gra.camente
se
observa
que
las
lineas
se
cruzan
en
el
cuarto
cuadrante
apriximadamente
cuando
x
˜
5
y
y
˜
..2
Si
resolvemos
el
anterior
sistema
por
los
métodos
vistos
en
secundaria
y
bachillerato
como
son
los
métodos
de
reducción,
igualación
y
sustituciónse
tiene:
x
-
3y
=
11
x
-
3y
=
11
=.
multiplicando
la
primera
ecuación
5x
+
4y
=
17
..19y
=
38
por
5
y
restandole
la
segunda
x
-
3y
=
11
despejando
y
de
la
segunda,
y
sustituyendola
en
la
primera
y
=
..2
se
tiene
que
x
=
5,
por
lo
tanto
la
solución
del
sistema
es
x
=
5
,
y
=
..2
.
Este
punto
gra.camente
signi.ca
el
punto
donde
las
lineas
se
cruzan.
x
-
3y
=
11
El
sistema
se
puede
representar
en
forma
matricial
como:
5x
+
4y
=
17
.
.
.
.
.
.
1
..3
x
11
=
entonces
el
problema
es
conocer
cuanto
vale
la
5
4
y
17
x
matriz
,
concideremos
que
el
sistema
lo
representamos
mediante
las
ma
y
1
..3
11
x
trices:
AX
=
B
donde
A
=
,
B
=
y
X
=
entonces
5
4
17
y
...