Sistema de ecuaciones lineales

Sistema de ecuaciones lineales

En matemáticas y álgebra lineal un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias, ni multiplicadas entre sí, ni en el denominador.

Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden clasificar, en función de sus soluciones, del siguiente modo:

Compatibles: Tienen al menos una solución. Además, un sistema no puede tener 2, 3, 4, ... , k soluciones. O tiene una o tiene infinitas. En consecuencia, los sistemas compatibles, pueden ser:

Determinados: La solución es única.

Indeterminados: Tienen infinitas soluciones.

Incompatibles: No admiten ninguna solución.

El método de Gauss, conocido también como de triangulación o de cascada, nos permite resolver sistemas de ecuaciones lineales con cualquier número de ecuaciones y de incógnitas.

La idea es muy simple; por ejemplo, para el caso de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se trata de obtener un sistema equivalente cuya primera ecuación tenga tres incógnitas, la segunda dos y la tercera una. Se obtiene así un sistema triangular o en cascada de la forma:

Ax + By + Cz = D

Ey + Fz = G

Hz = I

La resolución del sistema es ahora inmediata; basta calcular z en la tercera ecuación, llevar este valor de z a la segunda ecuación para obtener el valor de y, y así despejar la incógnitax en la primera ecuación, conocidos ya z e y.

Al resolver un sistema puede suprimirse, sin que varíe su resolución, cualquier ecuación que pueda obtenerse a partir de otras aplicando los siguientes

CRITERIOS DE EQUIVALENCIA.

Criterio 1.Producto o cociente por un numero real distinto de cero.

Si se multiplican o dividen los dos miembros de la ecuación de un sistema por un número distinto de cero, resulta otro sistema equivalente al dado.

Criterio 2. Suma o diferencia de ecuaciones.

Si a una ecuación de un sistema se le suma o resta otra ecuación del mismo, resulta otro sistema equivalente al dado.

Criterio 3. Reducción de ecuaciones.

Si en un sistema de ecuaciones lineales una ecuación es combinación lineal de otras, dicha ecuación puede suprimirse, siendo el sistema resultante equi- valente al dado.

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El Método de Gauss aplica estos criterios hasta conseguir que la

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