Sistema de ecuaciones lineales.

República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
U.E.P Colegio Católico “San José”
Guanare-Portuguesa

Sistema de ecuaciones lineales

Integrantes:
Andrés Oropeza #25
Carlos López #29
Benjamín Martínez #33

Guanare, Junio de 2015

Sistema de ecuaciones lineales

Es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo.

Ejemplo:

[pic 1]

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas

Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es un sistema lineal de ecuaciones formado por sólo dos ecuaciones que admite un tratamiento particularmente simple, junto con el caso trivial de una ecuación lineal con una única incógnita, es el caso más sencillo posible de sistemas de ecuaciones, y que permiten su resolución empleando técnicas básicas del álgebra cuando los coeficientes de la ecuación se encuentran sobre un cuerpo (sobre un anillo la solución no es tan sencilla).

Ejemplo:

[pic 2]

Clasificación de Sistemas

Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:

[pic 3]

Sistema compatible:

Si tiene solución, en este caso además puede distinguirse entre:

Sistema compatible determinado:

Si admite un número finito de soluciones; en el caso de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, si el sistema es determinado solo tendrá una solución. Su representación gráfica son dos rectas que se cortan en un punto; los valores de x e y de ese punto son la solución al sistema.

Sistema compatible indeterminado:

El sistema admite un número infinito de soluciones; su representación gráfica son dos rectas coincidentes. Las dos ecuaciones son equivalentes y una de ellas se puede considerar como redundante: cualquier punto de la recta es solución del sistema.

Sistema incompatible:

El sistema no admite ninguna solución. En este caso, su representación gráfica son dos rectas paralelas y no tienen ningún punto en común porque no se cortan. El cumplimiento de una de las ecuaciones significa el incumplimiento de la otra y por lo tanto no tienen ninguna solución en común.

Para poder determinar si, un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, corresponde a uno de esos casos, podemos aplicar el siguiente árbol de decisión, para determinar el tipo de sistema que es:

[pic 4]

Métodos de resolución

Dentro de los métodos básicos, están el de eliminación, reducción, igualación y sustitución que mediante distintas operaciones algebraicas despeja el valor de x e y del sistema. Si el sistema fuera incompatible o compatible indeterminado los métodos anteriores no conducen a una solución del sistema.

Método de eliminación

El objetivo de este procedimiento es obtener dos ecuaciones cuya suma sea una ecuación con una sola variable. Este método requiere que los coeficientes de la misma variable estén organizado en forma vertical.

Ejemplo:

[pic 5]

1. Se suman o se restan las ecuaciones para obtener una ecuación en una variable.

Al sumar se elimina la y [pic 6]

2. Se sustituye el valor encontrado en alguna de las ecuaciones originales, para encontrar la otra variable.

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

Método de igualación

El método de igualación para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas consiste en despejar una de las dos incógnitas en las dos ecuaciones. Sea cual sea el valor de esta incógnita, ha de ser el mismo en las dos ecuaciones, por tanto podemos igualar las dos expresiones obteniendo una ecuación con una incógnita, que podemos resolver con facilidad. Una vez conocido el valor de una de las dos incógnitas lo sustituimos en una de las ecuaciones iniciales y calculamos la segunda. Aprovechando el mismo ejemplo anterior, veamos cómo se resuelve por igualación:

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