Matrices y Sistema de Ecuaciones Lineales.

Matrices y Sistema de Ecuaciones Lineales.

Sistema de Ecuaciones Lineales.

-Dos Ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Son sistemas que corresponden a un par de líneas rectas, la solución es un par de números que no es más que la interacción de las rectas denotados por (x,y).

Un sistema con solución única es que al despejar cada ecuación e van a satisfacer cada una con el punto de intersección que se encontró.

Un sistema sin ecuación es el que sus ecuaciones no se intersectan en ningún punto.

Un sistema con un número infinito de soluciones es el que sus ecuaciones son equivalentes.

M ECUACIONES CON N INCOGNITAS.

En matemáticas y en algebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, es un conjunto de ecuaciones lineales es decir donde cada ecuación que la contiene al sistema es de primer grado, donde este conjunto se encarga de encontrar el valor que satisface al en cada uno de sus incógnitas, para cumplir el sistema sus incógnitas deben de cumplir cada ecuación del sistema.

Un sistema de m ecuación lineal y n incógnitas en general se puede escribir así:

{█(a_11 x_1+a_12 x_2+⋯..a_1n x_n=b_1@a_21 x_1+a_22 x_2+⋯..a_2n x_n=b_2@……………………………………….@a_m1 x_1+a_m2 x_2+⋯..a_mn x_n=b_m )┤

Donde x_n se denomina las incógnitas y b_n se denomina el término independiente y a_mn se denomina coeficiente de las incógnitas.

Los subíndices dobles en los coeficientes de cada incógnita constituyen un mecanismo de ubicación útil, el coeficiente Aij nos indica lo siguiente i nos indica la ecuación en la que aparece el coeficiente y j indica a que incógnita multiplica.

Ejemplo de sistema de ecuaciones lineales de m=3 y n=3.

{█(3x_1+2x_2+6x_3=1@-x_1+x_2+x_3=0@x_1-2x_2-3x_3=8)┤

Existen 2 tipos de sistemas de ecuaciones que son:

El sistema compatible son los que tiene solución y tiene dos subtipos que son determinado, que son de solución única y indeterminado con infinito número de soluciones.

El sistema incompatible son aquellos que no tiene solución.

Los métodos de solución de los sistemas de ecuaciones son los siguientes:

Sustitución

El método de sustitución consiste en despejar cualquier incógnita de preferencia el que tenga menor coeficiente y se sustituye en cualquiera de las otras y se encuentra las incógnita que queda para la respuesta.

Gauss- Jordan

Consiste en hacer 1 a la diagonal principal del sistema con métodos algebraicos para que al final el termino independiente nos de los valores que satisface el sistema.

Matrices.

Es un arreglo rectangular de números en remplazo de los coeficientes de las variables lo cual se llama matriz de coeficientes, esta ordenado por m(filas) y n(columnas) los números pueden ser números reales o complejos para dar nombre a cada elemento se usa notación de doble subíndice.

Ejemplo

A=[■(x_11&x_12&x_13@x_21&x_22&x_23 )]

Se localiza el elemento x_ij , como i la fila y j la columna, se llama matriz de m por n al arreglo de renglones de m(renglones) y n(columnas).

A=[■(2&-2&0@1&5&-8)]

Tipos de Matrices.

Matriz Aumentada.

Es aquella matriz en que se considera el coeficiente del índice “b” formando una matriz aumentada (M x N).

Matiz cuadrada.

Cuando una matriz de (M*N) en donde M=N

Matrices iguales.

Cuando son del mismo tamaño y los componentes de una matriz e igual a los componentes de la otra matriz.

Matriz cero.

Cuando los elementos de la matriz son todos cero.

Matriz renglón.

Cuando únicamente tiene un renglón.

Matriz columna.

Cuando únicamente tiene una columna.

Matriz triangular superior.

Es aquella que es cuadrada y que todos los elementos debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangulas inferior.

Es aquella que es cuadrada y todos los elementos sobre la diagonal principal son ceros.

Matriz diagonal.

Es aquella que es cuadrada y que todos los elementos de abajo y sobre la diagonal principal son ceros.

Matriz escalar.

Es aquella que es cuadrada y que los elementos de la diagonal principal es el mismo valor escalar y que todos los elementos y que todos los elementos debajo y sobre la diagonal principal son ceros.

Matriz Transpuesta.

La transpuesta de una matriz se obtiene cambiando las filas en lugar de las columnas y las columnas en lugar de las filas.

Matriz identidad.

Se llama matriz identidad a la que los elementos de la diagonal principal son unos y los elementos debajo y sobre la diagonal principal son ceros.

La traza de una matriz.

Denotada por Tr de una matriz cuadrada se define como la suma de la diagonal principal DA, no está definida si la matriz no es cuadrada.

Matriz elemental.

Una matriz elemental e obtiene a partir de la matriz identidad y es cuadrada.

Matriz simétrica.

La matriz cuadrada de m*n, las columnas son también los renglones de la misma.

Matriz antisimétrica.

Cumple si y solo si A=-AT es decir sus componentes son aij=-aij.

Matriz sub matriz.

Se obtiene de una matriz cualquiera, aumentando filas y o columnas indistintamente.

Matriz particionada.

Es subdividir una matriz m*n

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