Los sistemas de ecuaciones lineales

1. INTRODUCCIÓN.

Los antecedentes de los sistemas de ecuaciones lineales, se remontan a civilizaciones como

la Babilónica o la Egipcia, que utilizaban sistemas sencillos de dos incógnitas, quedando muestra de

ello en algunas tablillas babilónicas o papiros egipcios, que aun se conservan. También se sabe, que

en la antigua civilización griega, se resolvían sistemas de ecuaciones sencillos por métodos

geométricos, y que también aparecen sistemas de ecuaciones en documentos o libros de las antiguas

civilizaciones india y china.

Sin embargo y de forma mas rigurosa, parece ser que el estudio de los sistemas de

ecuaciones lineales fue iniciado por Leibnitz (1646-1716)., la solución de ecuaciones lineales

utilizando determinantes fue utilizado por MacLaurin (1698-1746), Cramer y Bezout, fueron

quienes demostraron que un sistema homogéneo cuadrado tiene solución si y solo si el determinante

del sistema se anula y D’Alembert (1717-1783) demostró que la solución general de un sistema de

ecuaciones, se obtiene sumando una solución particular a las soluciones del sistema.

2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

Definiciones básicas.

 Un sistema de n ecuaciones lineales con m incógnitas en el cuerpo K ≡K ,,. es

un conjunto de m ecuaciones lineales de la forma

a11 x1a12 x 2…a1n xn=b1

a21 x1a22 x2…a2n xn=b2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( 2 . 1 )

an−11 x1an−12 x2…an−1 n xn=bn−1

an1 x1an2 x2…ann xn=bn

Donde, para cada i=1, 2,... ,m; j=1, 2,... ,m; aij ,b j ∈ K son constantes xi ∈ K son variables.

 Un conjunto ordenado  x1, x2,…, x n ∈ Kn , que verifique las ecuaciones (2.1) se

denomina solución del sistema. Los números aij se denominan coeficientes del sistema y los

números bi términos independientes.

 Cuando para todo i=1,2 ,... ,n , bi=0 . se denomina sistema homogéneo.

 A todo sistema homogéneo cuyos coeficientes coincidan con los coeficientes del sistema

(2.1), se denomina sistema homogéneo asociado al sistema de ecuaciones (2.1).

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Ecuaciones Diofánticas. Discusión y resolución de ecuaciones lineales.

Teorema de Rouche. Regla de Cramer. Método de Gauss-Jordan

 Decimos que un sistema de ecuaciones lineales es un sistema compatible si admite

alguna solución. En otro caso se denomina sistema incompatible.

Dado un sistema compatible, si la solución que admite es única se denomina sistema

compatible determinado y si admite más de una se denomina sistema compatible

indeterminado.

# Ejemplo.- Dados los sistemas de ecuaciones siguientes en el cuerpo de los números reales

(1) x + y = 1; (2) x + y = 1; (3) x + y = 0.

x - y = 1; 2 x + 2 y = 2; x + y = 2.

Tenemos que el sistema (1) es compatible determinado de solución (1,0).

El sistema (2) es compatible indeterminado de solución r ,1−r , r ∈ ℝ .

El sistema (3) es incompatible.

 En el caso de que A≡A ,,. sea un anillo incluido en el cuerpo K, si para cada

i=1,2 , ... ,m; j=1,2 , ... ,m;aij , bi ∈ A , podemos definir el sistema en el anillo A, y en este caso

será compatible, si existe una solución  x1, x2,…, x n ∈ An .

Interpretación vectorial.

 Si consideramos la matiz A de coeficientes en un cuerpo K

A=a11 a12 .. . a1n

a21 a22 .. . a2n

. .. . . . .. . . ..

am1 am2 .. . amn 

Podemos establecer la aplicación lineal (entre espacios vectoriales)

A:Kn→Km : X → A. X (producto matricial de A por el vector X)

Luego, si

X =x1

x2

...

xn∈ Kn

Será

A.X =Σ

j=1

n

a1j . x j ,Σ

j =1

n

a2j . x j , ... ,Σ

j =1

n

amj . x j 

Luego, el sistema (2.1) lo podemos representar matricialmente como:

A.X =B ; A ∈ Kn ; B ∈ Km ; X ∈ Kn .

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Ecuaciones Diofánticas. Discusión y resolución de ecuaciones lineales.

Teorema de Rouche. Regla de Cramer. Método de Gauss-Jordan

Y resolver el sistema (2.1) equivale a

dado un vector B=b1

b2

...

bn∈ Km encontrar un X =x1

x2

...

xn∈ Kn tal que A.X =B .

 Dos sistemas de ecuaciones lineales A.X =B y C.Y=D son

...