SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

1. Ecuaciones con dos incógnitas.

En este apartado vamos a tratar con ecuaciones con dos incógnitas. Por ejemplo, 2x - 5y = 7 es una ecuación con dos incógnitas.

El par de valores x = 6, y = 1 es solución de esta ecuación porque 2 • 6 - 5 • 1 = 7.

Definición: Llamamos solución de una ecuación con dos incógnitas a todo par de valores que hacen cierta la igualdad. Cabe destacar que si sólo tenemos una ecuación con dos incógnitas, tendremos infinitas soluciones.

Las ecuaciones lineales se representan mediante rectas.

Para obtener las soluciones de dos incógnitas se despeja una de ellas y se le dan valores a la otra. Si representamos las dos ecuaciones que forman un sistema como dos rectas, se puede observar que el punto donde se cortan dichas rectas (si se cortan) es la solución al sistema.

Ejemplo:

Tabla de la 1ª Ecuación

Tabla de la 2ª Ecuación

Representación gráfica de ambas ecuaciones. Aquí podemos observar cómo la solución del sistema es x=4 e y=1

2. Sistemas de ecuaciones.

Definición: Dos ecuaciones forman un sistema cuando lo que pretendemos de ellas es encontrar su solución común. Cuando dos ecuaciones con dos incógnitas forman un sistema, las ponemos de esta forma:

Se llama solución de un sistema de ecuaciones a la solución común de ambas.

3. Sistemas equivalentes.

Definición: Dos sistemas de ecuaciones se dicen equivalentes cuando tienen la misma solución.

4. Número de soluciones de un sistema lineal.

4.1. Sistemas sin solución.

Hay sistemas cuyas ecuaciones dicen cosas contradictorias. Por ejemplo:

En este caso, nos dice por una parte que 2x+3y=15 y por otra que 2x+3y=9 y eso es absolutamente imposible porque para eso tendrían que adoptar las incógnitas valores distintos en cada ecuación y entonces no sería un sistema de ecuaciones.

Así sacamos la conclusión de que el sistema no tiene soluciones comunes y entonces se dice que el sistema es incompatible.

4.2. Sistemas con infinitas soluciones.

Hay sistemas cuyas ecuaciones dicen lo mismo o que una ecuación es proporcional a la otra, es decir, tenemos dos veces la misma ecuación. Veamos un ejemplo:

(1)

(2)

En el ejemplo (1) tenemos que las dos ecuaciones son idénticas y en el ejemplo (2) tenemos que la segunda ecuación es la misma, pero multiplicada por 2, entonces si dividimos toda la ecuación por 2, obtendremos de nuevo que tenemos dos ecuaciones idénticas.

En este caso el sistema se llamará compatible determinado, porque tiene soluciones, pero éstas son infinitas.

5. Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones.

5.1. Método de sustitución.

Este método de resolución de un sistema de ecuaciones consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituir en la otra.

Describamos los pasos que conviene dar para aplicar este método:

1º. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.

2º. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita.

3º. Se resuelve esta ecuación.

4º. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.

5º. Se ha obtenido, así, la solución.

5.2. Método de igualación.

Éste método consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar las expresiones resultantes.

Describamos los pasos que conviene dar para aplicar este método:

1º. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.

2º. Se igualan las expresiones, lo cual da lugar a una ecuación con una incógnita.

3º. Se resuelve esta ecuación.

4º. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejara la otra incógnita.

5º. Se ha obtenido así la solución.

5.3. Método de reducción.

Este método consiste en preparar las dos ecuaciones para que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente

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