Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

Sea una matriz formada por “n” columnas (

Pasos a realizar

1.º Elegir las dos primeras columnas y buscar un menor de orden dos no nulo. Si lo hay, (

1 c y 2 c son l.i.) el rango de la matriz es, MAYOR O IGUAL a dos. Si no lo hay, (c2 es

múltiplo de c1), se suprime c2, y se elige la siguiente columna en su lugar, procediendo

a realizar este paso con las columnas 1 c y 3 c

Si utilizamos todas las columnas de la matriz y no encontramos ningún menor de orden

2 distinto de cero entonces el rango de la matriz es uno

2.º En caso de encontrar un menor de orden dos no nulo y partiendo de dicho menor, se

elige una nueva columna y se van calculando solamente los menores de orden 3 que

sean orlados del de orden dos no nulo, hasta encontrar uno no nulo. Si lo hay, las tres

columnas son l.i. y el rango es MAYOR O IGUAL A TRES. Si no lo hay, la tercera

columna es combinación lineal de las dos primeras y puede suprimirse y se toma en su

lugar la siguiente columna.

Si usamos hasta la última columna y no encontramos ningún menor de orden 3 distinto

de cero entonces el rango de la matriz es dos

3.º En caso de encontrar un menor de orden tres distinto de cero, se reitera el

procedimiento partiendo del menor de orden tres no nulo y utilizando cuatro columnas y

así sucesivamente.

EJEMPLO 8. Cálculo del rango de la siguiente matriz

1 1 1 1 2

1 2 1 2 1

0 1 0 1 1

1 0 1 0 2

A

 

 

  

  

 

 

Con las dos primeras columnas encontramos un menor de orden dos distinto de cero.

Nociones previas: Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

Matemáticas Empresariales. (Curso 2013-2014)

Grado en Administración y Dirección de Empresas (Online). Universidad Rey Juan Carlos

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1 1

1 0 ( ) 2

1 2

  r A  las dos primeras columnas no son proporcionales (son l.i.)

Con las tres primeras columnas y orlando el menor anterior de orden dos podemos comprobar

que no existen menores de orden tres no nulos.

1 1 1

1 2 1 0

0 1 0

1 1 1

1 2 1 0

1 0 1





La 3ª columna es múltiplo (combinación lineal) de las dos primeras.

Por tanto para el cálculo del rango la 3ª columna puede ser suprimida. Consideramos, ahora,

las dos primeras columnas y la cuarta y comprobamos que orlando el menor de orden 2 no

nulo, todos los menores de orden tres son nulos

1 1 1

1 2 2 0

0 1 1

1 1 1

1 2 2 0

1 0 0





La 4ª columna es múltiplo (combinación lineal) de las dos primeras

Por tanto, para el cálculo del rango, la 4ª columna puede ser suprimida. Consideramos, ahora,

las dos primeras columnas y la quinta y comprobamos que orlando el menor de orden 2 se

obtiene un menor de orden tres distinto de cero

1 1 2

1 2 1 0

0 1 1





1 1 2

1 2 1 1 0 ( ) 3

1 0 2

   r A  Las columnas 1ª, 2ª y 5ª no son proporcionales (son l.i)6

Dado que no hay mas columnas podemos asegurar que r(A)  37

6

l.i. abreviatura de linealmente independientes

7

Nótese que sin haber calculado ningún menor de orden cuatro podemos asegurar que todos los

menores de orden cuatro son cero.

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5. INVERSIÓN MATRICIAL

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se dice que A-1 es la matriz inversa de la matriz A, si el

producto de ambas matrices es igual a la matriz unidad o identidad. (Ver DEFINICION 3)

n A A  A  A  I 1 1

PROPIEDADES

PROPIEDAD 19. Es condición necesaria y suficiente para que exista la inversa de una

matriz cuadrada que su determinante sea distinto de cero

PROPIEDAD 20. La inversa de una matriz, si existe, es única

PROPIEDAD 21. El determinante de la inversa de una matriz, coincide con el inverso del

determinante de la matriz.

A

A

1 1  

PROPIEDAD 22. La inversión es involutiva, es decir, aplicada dos veces (o un número par

de veces) resulta la matriz inicial. La matriz inversa de la matriz inversa es la propia matriz

A   A

1 1

PROPIEDAD 23. La inversa de un producto es igual al producto de las inversas cambiadas

de orden (de multiplicación).

  1 1 1

. .   

A B  B A

PROPIEDAD 24. La inversa de la transpuesta de una matriz, es igual a la transpuesta de la

inversa de la matriz

   t t A A 1 1



DEFINICION 9. Se denominan matrices regulares a las matrices tales que existe su inversa

y matrices singulares en caso contrario, si no existe su inversa.

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5.1. Cálculo de la matriz inversa

La inversa de la matriz A es igual al inverso de su determinante por la matriz formada por los

adjuntos de A transpuestos.

8

( )

det( )

1 1 t adj A

A

A   

EJEMPLO 9. Cálculo de la inversa de la matriz

1 2 1

3 3 4

2 5 6

A

 

 

   

...