ALGEBRA LINEAL

INTRODUCCION

En el presente trabajo menciono la importancia de matrices y determinantes, que nos ayudan a resolver diferentes situaciones o representación y manipulación de datos. Las matrices aparecen por primera vez hacia el año de 1850, el primero que empleo el término “matriz” fue el matemático ingles james Joseph sylvester en el año 1850. Cuando aun en el resto del mundo de esa época se desconocía ese término, sin embargo hace más de dos mil años los matemáticos en Asia (china) habían descubierto ya un método de la manera más abstracta posible de resolver los diferentes sistemas de ecuaciones lineales equivalente al método de gauss y por lo tanto utilizaban tablas con números.

El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático w. r. Hamilton en 1853. En 1858, A. cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Las matrices las utilizamos en el cálculo numérico y en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Incluyo definición de matriz la aplicación y uso, menciono también las diferentes áreas donde es necesario su aplicación como lo son, las ciencias sociales, las ingenierías, la economía, la física la estadística, y las diferentes ramas de las matemáticas, apareciendo de forma natural también en geometría, estadística, informática, física, criptografía y por supuesto en algebra lineal.

En cuadros sinópticos menciono las operaciones básicas con matrices y su forma de hacer y ejemplos claros para las diferentes aplicaciones, también muestro un cuadro sinóptico de la clasificación de las diferentes matrices y usos de la inversa de matriz como del determinante de la misma. Menciono las diferentes ciencias donde se pueden aplicar las matrices y determinantes, entre las que más me llama la atención son la criptográfica que es la ciencia de escribir o descifrar claves y en la cual se aplican matrices y determinantes.

I.- DEFINICION DE MATRIZ, NOTACION Y ORDEN

En matematicas, una matriz es una tabla bidimensional de números consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse. Las matrices se utilizan para describir sistemas de ecuaciones lineales, realizar un seguimiento de los coeficientes de una aplicación lineal y registrar los datos que dependen de varios parámetros. Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices. Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del algebra lineal.

Una matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos (llamados elementos o entradas de la matriz) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito m×n), y a m y n dimensiones de la matriz. Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después. Comúnmente se dice que una matriz m-por-n tiene un orden de m × n ("orden" tiene el significado de tamaño). Dos matrices se dice que son iguales si son del mismo orden y tienen los mismos elementos.

Al elemento de una matriz que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le llama elemento i,j o elemento (i,j)-iésimo de la matriz. Se vuelve a poner primero las filas y después las columnas.

Casi siempre, se denotan a las matrices con letras mayúsculas mientras que se utilizan las correspondientes letras en minúsculas para denotar a los elementos de las mismas. Por ejemplo, al elemento de una matriz A que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le denota como ai,j o a[i,j]. Notaciones alternativas son A[i,j] o Ai,j. Además de utilizar letras mayúsculas para representar matrices, numerosos autores representan a las matrices con fuentes en negrita para distinguirlas de otros tipos de variables. Así A es una matriz, mientras que A es un escalar.

Normalmente se escribe para definir una matriz A m × n con cada entrada en la matriz A[i,j] llamada aij para todo 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n. Sin embargo, la convención del inicio de los índices i y j en 1 no es universal: algunos lenguajes de programación comienzan en cero, en cuál caso se tiene 0 ≤ i ≤ m − 1 y 0 ≤ j ≤ n − 1.

Una matriz con una sola columna o una sola fila se denomina a menudo vector, y se interpreta como un elemento del espacio euclídeo. Una matriz 1 × n (una fila y n columnas) se denomina vector fila, y una matriz m × 1 (una columna y m filas) se denomina vector columna.

II.- CUADRO SINOPTICO DE LAS OPERACIONES BASICAS CON MATRICES

OPERACIÓN FORMA DE HACER EJEMPLOS

Suma Para sumar dos matrices tienen que tener las mismas dimensiones. Para sumar dos matrices se suman los elementos que ocupan las mismas posiciones.la suma de matrices tiene la propiedad conmutativa. A+B=B+A 1 0 -1 0 -1 2 1 -1 1

-2 1 0 + 1 0 5 = -1 1 5

5 2 -3 0 -7 2 5 -5 1

Producto de un numero por una matriz Para multiplicar un numero por una matriz, se multiplica cada elemento de la matriz por el numero 1 0 -1 2 0 -2

-2 1 0 x2 = -4 2 0

5 2 -3 10 4 -6

Producto de matrices Para multiplicar dos matrices es indispensable que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz. El producto de matrices no es conmutativo (no es lo mismo A.B que B.A). El producto de matrices tiene la propiedad asociativa: A.(B.C)=(A.B).C Si A y B tienen las dimensiones correctas para que se puedan multiplicar, entonces se cumple:

(A.B) t = B t.A t

El

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