Algebra Lineal

APLICACIÓN DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES: REFLEXIÓN, DILATACIÓN, CONTRACCIÓN Y ROTACIÓN.

Sean V y W espacios vectoriales. Una transformación lineal L de V en W es una función que asigna a cada u en V un único vector L(u) en W tal que :

L(u+v) = L(u) + L(v), oara cada u y v en V

L (ku)= kL(u) , para cada u enV y cada escalar k.

Observemos que en a) elsigno + en u +v del lado izquierdo de la ecuación se refiere a la operación de suma en V, mientras que el signo + eb L (u) + L (v) del lado derecho de la ecuación se refiere a la operación de la suma en W. De manera análoga, en b), el producto escalar ku esta en V, mientras que el producto escalar kL(u) esta en W

Si V = W, La transformación lineal L: V→V también es llamada un operador lineal en V.

Proyeccion: L: R3→R2 definida como L(x,y,z) = (x,y)

Dilatacion: L: R3→R2 definida como L(u) = ru, r >1

Cibtraccuib: L : R3→R2 definida como L(u) = ru,0< r <1

Reflexión: L: R3→R2 definida como L(x,y,) = (x,-y)

Rotacion; L: R3→R2 definida como L(u) u

Cuando se quiera una reflexión sobre un plano cualquiera, el proceso se

complica notablemente. La técnica utilizada es similar a la del giro sobre eje

arbitrario. En este caso, inicialmente se requiere definir un punto en el plano,

y la normal al plano en ese punto.

El proceso de reflexión se resume en los siguientes puntos:

• Trasladar el punto establecido del plano al origen de coordenadas

• Realizar los giros oportunos para hacer coincidir el vector normal al plano de reflexión con uno de los ejes de coordenadas; así el problema se reduce a una simple reflexión sobre alguno de los planos del sistema de referencia. Por ejemplo, si el eje escogido es el Z, el plano de reflexión sería el XY.

• Realizar la reflexión sobre el plano seleccionado

• Aplicar las transformaciones inversas para devolver el plano de reflexión a su posición original. La matriz neta podría ser, por ejemplo, el resultado de la composición

de las matrices [M]= [T]⋅ [G ]⋅ [G ]⋅ [R ]⋅ [G ]−1 ⋅ [G ]−1 ⋅[T]−1 x y z y x , si se opta por realizar las transformaciones para alinear el vector normal con el eje Z. En tal caso, la matriz de reflexión a utilizar sería la Rz.

COMPRESIONES-EXPANSIONES: Las compresiones y expansiones son escalamientos a lo largo de los ejes coordenados. Con más precisión: para c>0, la transformación Cx (x, y) = ( cx, y ) escala las coordenadas x en factor de c; dejando inalteradas a las coordenadas de y. Si 0 <x< 1 se trata de una compresión en dirección del eje positivo. Si c>1, se refiere a una expansión. También se

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