Algebra Lineal

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍA

APUNTES DE ÁLGEBRA LINEAL

SEMESTRE 2011-2

PROF. ING. ALICIA PINEDA RAMÍREZ

Apuntes de Álgebra Lineal

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ÁLGEBRA LÍNEAL

MÉTODO DE EVALUACIÓN

 La exención se otorgará a los alumnos que acrediten el curso con calificación aprobatoria mínima de seis (6).

 Para poder presentar los exámenes correspondientes a cada parte del curso, el alumno deberá entregar las series correspondientes a los capítulos que comprenda cada examen. Esta serie tiene un valor del 10% + la calificación del examen.

 Se dejarán tareas por clase, su promedio tendrá un valor del 25%, NO SE ACEPTAN TAREAS ATRASADAS.

 Lectura de dos libros en el semestre, para evaluarlos se necesita calificación APROBATORIA.

 En caso de no quedar exentos se tendrá la posibilidad de presentar los dos exámenes finales, siempre y cuando su asistencia a clases sea del 70%. El primer final será promediado con parciales y con el promedio de las calificaciones de las tareas que se dejen a lo largo del curso. Para este promedio se considerarán los siguientes porcentajes.

Examen final 50%

Exámenes parciales 40%

Tareas 10%

ESCALA DE CALIFICACIONES

0.0 – 5.9 --- 5

6.0 – 6.4 --- 6

6.5

6.6 – 7.4 --- 7

7.5

7.6 – 8.4 --- 8

8.5

8.6 – 9.4 --- 9

9.5

9.6 – 10 --- 10

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En caso de no aprobar el primer examen final, la calificación correspondiente será la obtenida en el segundo examen final.

Los oyentes serán evaluados con el segundo examen final colegiado.

FECHAS DE EXAMENES PARCIALES Y FINALES:

1er. Parcial: 8 al 12 de marzo

2do. Parcial: 9 al 15 de abril

3er. Parcial: 7 al 13 de mayo

4to. Parcial: 27 al 28 de mayo

FINALES

1er. Final: 3 Junio 10:00 hrs.

2do. Final: 10 Junio 10:00 hrs.

Apuntes de Álgebra Lineal

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BIBLIOGRAFÍA

1. Lay, David C.

Álgebra Lineal y sus Aplicaciones, 2da. Edición, Prentice Hall, 2001

2. Nakos. George y Joyner, David

Álgebra Lineal con Aplicaciones, Thomson Editores, 1999

3. Solar G., Eduardo y Speziale, Leda

Apuntes de Álgebra Lineal, Editorial Limusa, 1996

4. Bell, E.T.

Historia de la Matemáticas, 2da. Edición, Fondo de Cultura Económica, 1995

5. Anton H.

Introducción al Álgebra Lineal, Edit. Limusa, 2003

6. Godínez C, Héctor y Herrera C., Abel

Álgebra Lineal, teoría y ejercicios, Facultad de Ingeniería 1987

CAPÍTULOS:

I. Introducción al álgebra lineal

II. Espacios Vectoriales

III. Transformaciones lineales

IV. Espacios con Producto Interno

V. Operadores lineales en espacios con producto interno

Álgebra Lineal: es la parte de la matemática que estudia los espacios vectoriales y los conceptos relacionados con ellos (matrices, espacios y formas algebraicas), así como las aplicaciones a la teoría de sistemas de ecuaciones lineales y al comportamiento algebraico de las funciones.

Apuntes de Álgebra Lineal

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CAPITULO 2

“ESPACIOS VECTORIALES”

2.1 Definición de espacio vectorial. Propiedades elementales de los espacios vectoriales. Subespacios. Isomorfismos entre espacios vectoriales.

ESPACIO VECTORIAL.

En este capítulo se analizaran conjuntos en los cuales exista una relación entre sus elementos, de manera que se establezca el concepto de dependencia lineal.

En forma genérica, a los elementos de un espacio vectorial se les llama “vectores”, por lo que, en este contexto, la palabra vector adquiere un significado más amplio.

DEFINICIÓN

En primera instancia se definirá lo que es un espacio vectorial, para tal efecto se considerará un conjunto U y un campo K, cuyos elementos se conocen como vectores y escalares respectivamente.

Para poder llegar a definir la estructura de espacio vectorial se requiere, además de las siguientes operaciones:

1) Suma de vectores

2) Multiplicación de un vector por un escalar.

Regla de correspondencia (criterio)

(a, b) + (c, d) = (a+d, b+c)

(a, b) = (a,b)

Si estas operaciones cumplen con las siguientes propiedades, entonces se tendrá un espacio vectorial.

I. La suma forma un grupo abeliano con el conjunto U

II. Se debe cumplir la cerradura de la multiplicación de un vector por un escalar.

III. Existe la distributividad tanto para la suma de vectores por un escalar, como para la suma de escalares por un vector.

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IV. Se cumple la homogeneidad para el producto de escalares por un vector.

V. Existe el escalar idéntico.

Analíticamente lo anterior queda representado de la siguiente manera.

I. (U, +) Grupo Abeliano

1) Cerradura: U

2) Conmutatividad.

3) Asociatividad:

)+

4) Elemento idéntico.

5) Elemento inverso.

El elemento inverso no es único.

II. Cerradura para la multiplicación por un escalar.

U

III. Distributividades.

IV. Homogeneidad.

K

9) (αβ)

 a,b,c U

 

     

a U

e U e a a e a

 

     

a U

i U a i i a e

a  b  b  a

 a,b U y , K

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Si V es un espacio vectorial sobre K, entonces

El vector es único y es tal que:

El vector es único y es tal que:

La ecuación t iene solución única en V

i u v w V u v u w v w

ii e v v v V

iii i v i

iv u x v

v v V v v

vi u v V u v u v

) , , :

) ;

)

)

) : ( )

) , : ( ) ( )

      

    

 

 

    

       

0 0

0

V. Escalar idéntico.

EJEMPLO:

EJEMPLO:

EJEMPLO:

Espacio Nulo:

Contiene al vector nulo, ejemplo en polinomios: P= (0x2+0x+0)=

EJEMPLO:

PROPIEDADES ELEMENTALES DE LOS ESPACIOS VECTORIALES.

De los diez postulados que integran la definición de espacio vectorial, los primeros cinco se refiere

únicamente a la adición, y establecen que el sistema (V, +) es un

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