Algebra Lineal

INTRODUCCION

Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.

Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc.

Las nociones de vectores están implícitamente contenidas en las reglas de composición de las fuerzas y de las velocidades, conocidas hacía el fin del siglo XVII.

Es en relación con la representación geométrica de los números llamados imaginario, como las operaciones vectoriales se encuentran por primera vez implícitamente realizadas, sin que el concepto de vector este aún claramente definido. Fue mucho más tarde, y gracias al desarrollo de la geometría moderna y de la mecánica, cuando la noción de vector y de operaciones vectoriales se concretó.

OBJETIVOS

• Valorar la importancia del álgebra matricial y la adquisición de estrategias para la simplificación de los cálculos.

• Identificar los tipos de matrices.

• Operar con matrices: suma y diferencia de matrices, producto de un número real por una matriz, producto de matrices. Conocer las propiedades de estas operaciones.

• Valorar la importancia de los determinantes, dentro del álgebra matricial.

• Calcular el determinante de una matriz cuadrada de cualquier orden.

• Conocer las propiedades de los determinantes y su contribución a la simplificación de los cálculos

• Comprender y manejar los conceptos de espacio y subespacio vectorial, dependencia lineal, base.

• Distinguir cuando un subconjunto de un espacio vectorial dado es subespacio, ser capaz de calcular bases para el mismo.

• Distinguir la clasificación de las expresiones algebraicas.

Matriz

Ordenación rectangular de elementos algebraicos que pueden sumarse y multiplicarse en varias formas. La división en si no es una operacion permitida en las matrices, sí lo es el producto de una matriz por la inversa de otra matriz (en el caso de que exista)

Operaciones

Algunas de las operaciones básicas que pueden realizarse con matrices son suma, resta y multiplicación. La división de matrices como tal no existe y en su lugar se calcula la inversa.

Suma de matrices.

Para que la sumar las matrices A y B, se requiere que las matrices tengan el mismo número de renglones y de columnas. Si queremos encontrar la suma C = A + B, cada elemento de la matriz C lo calculamos de la siguiente forma:

cij = aij + bij

Para todos lo i,j en la matriz C

Resta de matrices.

En este caso, se deben cumplir las mismas propiedades que la resta de matrices y el cálculo de los elementos de la matriz C se calculan como:

cij = aij - bij

Para todos lo i,j en la matriz C

Multiplicación de matrices.

Para realizar el producto C = A*B tenemos que considerar que el producto existe si

1.- El número de columnas de A es igual al número de renglones de B.

C(n,l) = A(n,m)*B(m,l)

2.- Las dimensiones de la matriz resultante tendrá el mismo numero de renglones que la matriz A y el mismo número de columnas que la matriz B.

3.- El cálculo de los elementos de la matriz C se lleva a cabo haciendo:

cij = S k=1..m aik * bk,j

Para todos lo i,j en la matriz C

Matrices especiales: toda matriz cuyos elementos de su diagonal principal toman el mismo valor, tanto arriba como debajo de la diagonal son ceros. También la conocemos por matriz identidad y a su vez es un caso de matriz diagonal.

1 0 0

A = 0 1 0

0 0 1

Matriz simétrica: Es una matriz cuadrada, donde los elementos alternos tienen el mismo valor.

Matriz antisimetrica: Matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su transpuesta A = -At; , aij = -aji aij = aji . Necesariamente; aii = 0

Matriz compleja: Es toda matriz cuadrada, cuyos elementos son números complejos.

3+2i i 5i

A = −4+3i −2i 3+6i

−2+i 3+6i −4i

Matriz conjugada: Sea A una matriz rectangular o cuadrada compleja. Si se forma otra matriz tomando los complejos de cada elemento de A se obtiene la matriz conjugada de A.

A = [4 3+2j; −3–3j 4+4j]

4 3+ 2i

-3- 3i 4+ 4i

Ac = conj(A)

4 3- 2i

-3+ 3i 4- 4i

Matriz identidad: de orden n a una matriz cuadrada en la que los elementos de la diagonal principal son todos uno y el resto son cero:

Matriz diagonal: Una matriz cuadrada se dice que es diagonal si todos los elementos que no están en la diagonal principal son cero. La matriz identidad es un caso particular de matriz diagonal.

Matriz triangular inferior: Una matriz cuadrada se dice que es triangular inferior si verifica que aij = 0, cuando i < j

Matriz triangular superior: Una matriz cuadrada se dice que es triangular superior si verifica que aij = 0, cuando i > j

Matriz adjunta: Si se tiene una matriz cuadrada A, su matriz adjunta o adj(A) es la resultante de sustituir cada término de A por sus respectivos adjuntos. El adjunto de un término ai j de la matriz A resulta del determinante de la matriz que se obtiene de quitar a A la fila y la columna a la que pertenece el término ai j multiplicado por (−1)(i+j)

Un ejemplo sería el siguiente:

dada la matriz

su adjunto es

+[(1)-(2)] -[(−1)-(0)] +[(2)-(0)]

adj (A) = -[(−1)-(0)] +[(−2)-(0)] -[(4)-(0)]

+[(1)-(0)] -[(2)-(0)] +[(−2)-(1)]

Matriz hermitica: Una matriz que es igual a su transpuesta conjugada; en el caso de ser de elementos reales, una matriz hermítica es sinónima de simétrica.

3 2+i −2i

A= 3+4i i 2+6i

2–6i 3 12i

Matriz nula: Es aquella que todos sus

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