Algebra Lineal

Transformaciones Lineales

Departamento de Matem´aticas, CCIR/ITESM

16 de abril de 2009

´I

ndice

21.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

21.2. Idea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

21.3. Transformaci´on Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

21.4. Geometr´ıa de las transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

21.5. Linealidad en una condici´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

21.6. Hechos que cumple una transormaci´on lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

21.7. Conceptos relativos a funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

21.8. Im´agenes de espacios generados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

21.1. Introducci´on

En esta lectura se presentan las funciones entre espacios vectoriales que preservan las cualidades de los

espacios vectoriales. Es decir, de funciones que preservan la suma y la multiplicaci´on por escalares.

21.2. Idea

En los cursos b´asicos relativos a ecuaciones vimos que la soluci´on a la ecuaci´on

f(x) = 0

podr´ıa entenderse como los puntos donde la gr´afica de la funci´on f(x) corta el eje de las x’s:

1

−1

−2

−1 1 2

esta forma de ver a una ecuaci´on permite entonces resolver ecuaciones de la forma:

f(x) = a

en este caso lo que se busca son los valores de x de aquellos puntos donde la gr´afica de la funci´on f(x) corta

la l´ınea horizontal y = a:

1

−1

−2

−1 1 2

Esta idea de corte de la gr´afica de f(x) con la recta y = a da pie a m´etodos gr´aficos de soluci´on de ecuaciones

y tambi´en permite obtener conclusiones cualitativas a ciertas ecuaciones. Por ejemplo, se deduce f´acilmente

que 3 sen(20 x) cos(x) = 1 tiene infinitas soluciones, mientras que 3 sen(20 x) cos(x) = 3.5 no tiene soluci´on:

1

2

3

−1

−2

−3

−1 1 2

En el caso anterior, 3 sen(20 x) cos(x) = 1 tiene soluci´on debido a que 1 est´a en el rango de la funci´on; mientras

que 3 sen(20 x) cos(x) = 3.5 no tiene soluci´on porque 3.5 no lo est´a. El rango de la funci´on est´a marcado en el

eje y como un segmento de l´ınea magenta. En general, el siguiente resultado se tiene:

Teorema

La ecuaci´on

f(x) = a

tiene soluci´on si y s´olo si a est´a en el rango de f(x).

Nosotros usaremos el concepto de la funci´on para darle un tratamiento a los sistemas de ecuaciones lineales. La

restricci´on que haremos ser´a sobre el tipo de funciones: s´olo estaremos interesados en funciones que preserven

las operaciones en el espacio vectorial. Este tipo de funciones ser´an llamadas funciones lineales. Primeramente

las definiremos, veremos algunas propiedades generales y despu´es veremos c´omo se aplican estos resultados a

sistemas de ecuaciones.

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