Unidad 4 Algebra Lineal

4. Espacios Vectoriales

4.1. Definición de espacio , subespacio vectorial y sus propiedades

un vector es una magnitud que consta de módulo, dirección y sentido . Algunos sin embargo; más teóricos, explicarían que un vector es una entidad tal que para ser expresada necesita de

n

escalares (números); siendo n

cualquier número natural.

Definición de espacio vectorial y propiedades

Un espacio vectorial es un conjunto no vacio de V objetos, llamados vectores, en el que están definidas dos operaciones, llamadas suma y multiplicación por escalares(números reales), sujetas a diez axiomas(o reglas) que se dan a continuación. Los axiomas deben valer para todos los vectores u, v, y w en V y todos los escalares c y d.

1. La suma de u y v, denotada por u + v, está en V 2. u + v = v + u 3. (u + v)+ w = u + ( v + w ) 4. Existe un vector 0 en V tal que u + 0 = u 5. Para cada u en V, existe un vector –u en V tal que u + (-u ) = u. 6. El múltiplo escalar de u por c, denotado cu, está en V 7. c( u + v ) = cu + cv 8. ( c+ d ) u = cu + du 9. c(du) = (cd)u 10. 1u=u

Los espacios de n ℜ con 1 ≥n , son los ejemplos principales de espacios vectoriales. La intuición geométrica desarrollada para 3 ℜ nos ayudará a entender y a visualizar muchos conceptos durante el capitulo.

Subespacio vectorial y propiedades

Definición.

Un subespacio vectorial V es un subconjunto H de V que tiene tres propiedades:

a. El vector cero de V está en H2 b. H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada u y v en H, la suma u + v está en H

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c. H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada u en H y cada escalar c, el vector cu está en H

Ejemplo. El conjunto que consta únicamente de un vector cero en un espacio vectorial V es un subespacio de V llamado subespacio cero se escribe { } 0

4.2 Propiedad de Vectores , Combinación Lineal, dependencia e independencia lineal

Propiedades. Cuales quiera que sean los vectores , y en : 1. , (anticonmutatividad)

2. (el producto vectorial es perpendicular a cualquiera de los factores),

3. Si y entonces (el producto cruz de dos vectores paralelos es cero).

4. ,

5. Otras propiedades [editar] Continuando con los vectores del apartado anterior y con la norma vectorial habitual:

• . El valor absoluto de esta operación corresponde al volumen del paralelepípedo formados por los vectores , y . A esta

H

V

0

Ejemplo de subespacio de V

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operación se la conoce como producto mixto, pues combina producto escalar y producto vectorial.

• , siendo θ el ángulo menor entre los vectores y ; esta expresión relaciona al producto vectorial con el área del paralelogramo que definen ambos vectores.

• El vector es el vector normal al plano que contiene a los vectores y

Dados dos vectores: y , y dos números: a y b, el vector se dice

que es una combinación lineal de y . Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares.

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros dos que tengan distinta dirección.

Esta combinación lineal es única.

Dados los vectores , hallar el vector combinación lineal

El vector , ¿se puede expresar como combinación lineal de los

vectores ?

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Dependencia e Independencia lineal

Definición:

Sean . Diremos que son LINEALMENTE DEPENDIENTES si al menos uno de ellos se puede escribir como combinación lineal del resto. ejemplo

Consideremos los siguientes vectores

¿Se puede expresar el vector como combinación lineal de los tres primeros vectores? . Para resolver esta, primero definimos estos vectores

y a continuación planteamos la ecuación vectorial

que una vez simplificada nos proporciona el sistema de ecuaciones

Si obtenemos una solución para a,b,c, habremos obtenido una combinación lineal de los tres primeros vectores, gracias a la cual obtendremos el cuarto vector. Si resolvemos el sistema anterior, resulta

lo cual nos indica que

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es decir que el vector se puede expresar como combinación lineal de los tres primeros vectores. La DEPENDENCIA que tiene este vector respecto del resto se traduce en la existencia de una DEPENDENCIA LINEAL en el conjunto de los cuatro vectores.

Independencia Lineal

Definición:

Sean . Diremos que son LINEALMENTE INDEPENDIENTES si ninguno de ellos puede expresarse como combinación lineal de los restantes.

ejemplo

Si tenemos los vectores (1,1,1), (1,1,0), (1,0,0), podríamos intentar ver si alguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los dos restantes. Para efectuar esta comprobación en DERIVE, primero definiríamos nuestros tres vectores

• Intentemos ver si u1 se puede expresar como combinación lineal de u2 y u3. Para ello, primero editamos la ecuación vectorial

cuyo sistema de ecuaciones viene dado por

que si intentamos resolver luego esta primera combinación lineal no es posible. Intentemos ver si u2 se puede expresar como combinación lineal de u1 y u3, efectuando

al simplificar nos da

sistema claramente sin solución. • Por último para ver si u3 se puede expresar como combinación lineal de u1 y u2 editamos la ecuación

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es decir, el sistema de ecuaciones

que nuevamente es incompatible.

En esta situación, podemos decir que los tres vectores son INDEPENDIENTES de combinaciones lineales, es decir son LINEALMENTE INDEPENDIENTES.

4.3 Base y dimensión de un espacio vectorial

Base de un vector

Si un espacio vectorial V tiene una base con n vectores , entonces toda base de V tiene

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