Algebra Lineal Unidad 2

2.1 Definición de Matriz, Notación y Orden.

Cuando los sistemas de ecuaciones lineales son extensos, mayormente se utiliza matrices por su facilidad de manejo. Las matrices son ordenamientos de datos y se usan no solo en la resolución de sistemas de ecuaciones (lineales), sino además en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales y de derivadas parciales. Además las matrices también aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc.

El álgebra matricial puede ser aplicada a sistema de ecuaciones lineales. Sin embargo, puesto que muchas relaciones económicas pueden ser aproximadas mediante ecuaciones lineales y otras pueden ser convertidas a relaciones lineales, esta limitación puede ser en parte evitada.

Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matriz con m filas y n columnas se denomina matriz m por n, o matriz m ð n.

Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B,..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b,...

Ejemplo:

Donde sus filas son (1, -3, 4) y (0, 5, -2) y sus

Clases de matrices.

Según el aspecto de las matrices, éstas pueden clasificarse en:

Matrices cuadradas

Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas que de columnas. Se dice que una matriz cuadrada n ð n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada.

Ejemplo: Sean las matrices

Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.

Matriz identidad

Sea A = (ai j) una matriz n-cuadrada. La diagonal (o diagonal principal) de A consiste en los elementos a11, a22,..., ann. La traza de A, escrito trA, es la suma de los elementos diagonales.

La matriz n-cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en cualquier otra posición, denotada por I, se conoce como matriz identidad (o unidad). Para cualquier matriz A,

A• I = I •A = A.

Matrices triangulares

Una matriz cuadrada A = (ai j) es una matriz triangular superior o simplemente una matriz triangular, si todas las entradas bajo la diagonal principal son iguales a cero. Así pues, las matrices

Son matrices triangulares superiores de órdenes 2, 3 y 4.

Matrices diagonales

Una matriz cuadrada es diagonal, si todas sus entradas no diagonales son cero o nulas. Se denota por D = diag (d11, d22,..., dnn). Por ejemplo,

Son matrices diagonales que pueden representarse, respectivamente, por diag (3,-1,7) diag (4,-3) y diag (2,6,0,-1).

Traspuesta de una matriz

La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT.

Así, la traspuesta de

En otras palabras, si A = (ai j) es una matriz m ð n, entonces AT =

es la matriz n ð m. La trasposición de una matriz cumple las siguientes propiedades:

1. (A + B) T = AT + BT.

2. (AT) T = A.

3. (kA) T = kAT (si k es un escalar).

4. (AB) T = BTAT.

Matrices simétricas

Se dice que una matriz real es simétrica, si AT = A; y que es antisimétrica, si AT = -A.

Ejemplo:

Consideremos las siguientes matrices:

Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que AT = A. Siendo así, A es simétrica.

Para B los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica.

A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni antisimétrica.

Matrices ortogonales

Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AAT = AT A = I. Se observa que una matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A-1 = AT.

Consideremos una matriz 3 ð 3 arbitraria:

Si A es ortogonal, entonces:

Matrices normales

Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, si AAT = ATA. Obviamente, si A es simétrica, antisimétrica u ortogonal, es necesariamente normal.

Ejemplo:

Puesto que AAT = ATA, la matriz es normal.

2.2 Operaciones con Matrices

Suma y resta de matrices

Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 ð 2 y otra de 3 ð 3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.

Ejemplo:

Para sumar o restar más de dos matrices se procede igual. No necesariamente para poder sumar o restar matrices, éstas tienen que ser cuadradas.

Ejemplo:

2.2 Clasificación de las Matrices.

Una matriz cuadrada tiene un número de filas p igual a su número de columnas q.

Son matrices de orden, p x p ó p2.

Las matrices:

A = 2 0 B = 0 2 3

-3 1 -1 0 2

0 0 0

Son de orden 2 x 2 y 3 x 3 respectivamente.

Los elementos a11, a22, a33,... ann de una matriz cuadrada constituyen su diagonal principal.

La diagonal principal será:

a11 ... ... ...

A = ... a22 ... ...

... ... a33...

... ... ... ann

Una matriz cuadrada tal que:

a11 = a22 = a33 =.... = ann = 1 y todos los demás elementos son cero, es una matriz unidad.

La representaremos por I o sea:

IA = 1 0

• 1

es una matriz de orden 2 x 2.

Una matriz diagonal es aquella en que los elementos que no están en la diagonal principal son ceros.

Esta es un matriz diagonal:

2 0 0 0

A = 0 3 0 0

0 0 -2 0

0 0 0 4

Una matriz cuyos elementos por encima o por debajo de la diagonal principal son todos ceros es matriz triangular. Si todos los ceros están por encima de la diagonal principal entonces es una matriz inferior y si todos los ceros están por debajo de la diagonal principal es una matriz superior.

Ejemplo:

A = 3 0 0 es una matriz inferior.

1 2 0

-1 0 4

B = 4 1 -2

0 1 5 es una matriz superior.

0 0 3

Esquema de filas, columnas y diagonal principal.

1 0 4 7 filas

A = 0 2 5 8

0 3 6 9

1 2 1 0 diagonal principal

Columnas

...