EJERCICIO 3 ALGEBRA LINEAL

Nombre : ADRIANA FORERO 

EJERCICIO

La matriz de rotación un ángulo 𝜃 en sentido antihorario de un objeto con respecto al eje 𝑧 en  está dada por: [pic 1]

[pic 2]

Un sector de un brazo robótico tiene la forma de un paralelepípedo con coordenadas  y se requiere que para un proceso de automatización gire 60° en sentido horario.[pic 3]

1. Determine las coordenadas del sector del brazo robótico tras realizar el giro requerido.
2. Grafique la posición inicial y la posición final del brazo utilizando algún software de graficación.
3. ¿Es la transformación asociada a 𝑅𝑧 (𝜃) una transformación lineal? Justifique.

SOLUCIÓN

Primero que todo, como el enunciado dice que la matriz de rotación es para sentido antihorario y el ejercicio nos pide que hagamos una rotación de 60° en sentido horario, esto quiere decir que si tomamos el ángulo positivo la rotación se hará en sentido antihorario y si tomamos el ángulo negativo la rotación se hará en sentido horario.

Por lo tanto,  y [pic 4][pic 5]

Y así, damos paso a la solución del punto a.

1. Para encontrar las coordenadas del sector del brazo robótico, vamos a rotar punto por punto de dicho brazo que tiene forma de paralelepípedo, es decir,

[pic 6]

        Donde  es el punto inicial que queremos rotar y  es el punto inicial ya rotado.[pic 7][pic 8]

Por lo tanto, tenemos:

• [pic 9]

[pic 10]

• [pic 11]

[pic 12]

• [pic 13]

[pic 14]

• [pic 15]

[pic 16]

• [pic 17]

[pic 18]

• [pic 19]

[pic 20]

• [pic 21]

[pic 22]

• [pic 23]

[pic 24]

Por lo tanto, los puntos de rotación finales son:

[pic 25]

[pic 26]

1. Para graficar la posición inicial y final del brazo se hizo uso de GeoGebra, por lo tanto, la posición inicial del brazo es igual a:

[pic 27]

La posición final del brazo es igual a:

[pic 28]

1. Para justificar este punto, me baso en dos propiedades de una transformación lineal

[pic 29]

[pic 30]

Y tomando a u y v como;

[pic 31]

[pic 32]

Por lo tanto, basándonos en la primera propiedad tenemos;

...