Entregable 2 Espacios y transformaciones lineales

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Introducción

 El análisis vectorial es un campo de las matemáticas que utiliza vectores para representar varias magnitudes físicas.  Un vector es una cantidad que tiene tanto magnitud como dirección.  Cada vector individual puede tener cualquier número de componentes, pero la ortogonalidad de los componentes facilita la representación de vectores con solo dos elementos.  La suma de vectores produce un vector resultante con la misma magnitud y dirección que los vectores originales.  La ortogonalidad del vector se explica en detalle en este cuerpo de trabajo.

Un vector es una entidad con magnitud y dirección.  Es similar a un segmento de línea en que tiene magnitud y dirección, pero no es exactamente lo mismo.  Un vector es un concepto abstracto más que tangible.  Sin embargo, dado que la mayoría de la gente usa el término 'vector' para referirse a una señal electrónica, es necesaria una breve explicación.  Una señal electrónica viaja por el espacio a través de ondas electromagnéticas, que son básicamente vectores proyectados desde una fuente eléctrica como una bobina de Tesla o un relé de microondas.  Esencialmente, el término 'vector' puede referirse tanto a una cantidad abstracta como a una tangible.

Producto de un escalar:

Un producto escalar es un escalar o un vector con un valor definido positivo, pero no necesariamente cero. En otras palabras, representa un cambio en cualquier cantidad medible, como un vector, no necesariamente en la ubicación real o la dirección en la que apunta el vector. El producto punto de dos o más vectores generalmente se define como la suma de todos los vectores correspondientes, aunque esto no es necesario.

El producto punto de dos vectores es una operación que toma dos vectores y produce un número real:[pic 3]

Observemos que el producto escalar se suele denotar por medio de un punto [pic 4].

Existen dos maneras equivalentes de obtener el producto escalar de dos vectores [pic 5] y [pic 6]. Estas se describen a continuación:

1.Si conocemos el módulo de ambos vectores y el ángulo [pic 7] que forman entre ellos, entonces el producto escalar se obtiene mediante

[pic 8]

2.Si conocemos los componentes de los vectores [pic 9] y [pic 10], entonces el producto escalar está dado por

[pic 11]

Un ejemplo sería:

Consideremos los vectores [pic 12] y [pic 13]. Asimismo, el ángulo entre los vectores es [pic 14].

Para calcular el producto escalar, primero debemos encontrar el módulo de [pic 15] y [pic 16]:[pic 17]

De este modo, el producto escalar está dado por[pic 18]

Producto punto:

El producto punto o producto escalar de dos vectores es una operación que produce números reales. Hay diferentes formas de definir esta operación, una de ellas es multiplicar la magnitud de los vectores por el producto del coseno del ángulo que forman, es decir:[pic 19]

Sin embargo, la forma más común de definir el producto punto no es esa, sino por medio de la suma de los productos de sus respectivas coordenadas, es decir, si [pic 20] y [pic 21], entonces podemos definir el producto punto como:[pic 22]

Ejemplo:

Hallar el producto punto de dos vectores cuyas coordenadas son las siguientes:[pic 23]

Aplicando lo aprendido podemos llegar a:[pic 24]

Producto cruz:

El producto cruz [pic 25] de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a ambos vectores y cuya dirección es igual a la rotación del sacacorchos de  [pic 26] a [pic 27].Sus módulos son iguales a:[pic 28]

El producto vectorial se puede expresar mediante un determinante:

[pic 29]

Ejemplo:

Calcular el producto vectorial de los vectores [pic 30] y [pic 31].

Debemos sustituir la formula anterior:

[pic 32]

Calcular los determinantes 2 x 2:[pic 33]

Condiciones para que 2 productos sean ortogonales:

Un conjunto ortogonal es un conjunto de líneas que no se pueden combinar para formar otras líneas que también están en el conjunto.  Por ejemplo, el número 10 es un número ortogonal porque sumarlo, restarlo, multiplicarlo o dividirlo por otro número siempre producirá otro número en el conjunto.  Además, los ángulos de un cuadrado también son un conjunto ortogonal ya que estos ángulos siempre están juntos en un cuadrado.  En este sentido, un conjunto ortogonal es un sistema de rectas que no pueden combinarse para formar otras rectas.

El teorema de Pitágoras establece que la longitud (l) y el ancho (w) de un triángulo rectángulo están relacionados por una proporción de 1:2. Esta es una de las identidades más famosas en matemáticas y se puede encontrar en todos los planes de estudios de matemáticas de la escuela secundaria y la universidad.  Tanto el largo como el ancho del ángulo recto están en el conjunto ortogonal; por lo tanto, este ángulo recto es ortogonal a ambos lados.  Por lo tanto, forma parte de un conjunto ortogonal en sí mismo.

Ley del paralelogramo:

La ley del paralelogramo enuncia que la suma de los cuadrados de los cuatro lados (dos lados a y dos b) de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de las dos diagonales (D1 y D2) de éste. Se puede expresar así:[pic 34]

Un caso particular es que el paralelogramo sea un rectángulo, en cuyo caso las dos diagonales son iguales (D1=D2). Entonces, la ley del paralelogramo queda reducida al teorema de Pitágoras.

Ejemplo:

Sea un paralelogramo cuyos lados son iguales dos a dos, siendo un par de a=5 cm y el otro de b=6 cm.

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