VECTORES: MÓDULO, DIRECCIÓN Y SENTIDO

VECTORES: MÓDULO, DIRECCIÓN Y SENTIDO

Un vector es un segmento de recta orientado.

Un vector se caracteriza por:

1) su módulo, que es la longitud del segmento.

2) su dirección, que viene dada por la recta que pasa por él o cualquier recta paralela.

3) su sentido, que es uno de los dos sentidos posibles sobre la recta que pasa por él.

Un vector no tiene una ubicación definida; puede trasladarse a cualquier lugar del plano sin modificar ni su módulo, ni su orientación (dirección y sentido). Por esta razón se dice que los vectores son libres.

Los vectores se expresan con una letra minúscula o con dos letras mayúsculas, su origen y su extremo respectivos. Por ejemplo, indica el vector que tiene origen en el punto P y extremo en el punto Q.

Siempre que sea posible, pondremos una flecha encima para indicar que se trata de un vector.

Los vectores sirven para representar magnitudes geométricas y físicas que tienen módulo, dirección y sentido, como traslaciones, velocidades y fuerzas.

Como lo que caracteriza a un vector es su módulo, su dirección y su sentido, dos vectores son iguales si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.

SUMA DE DOS VECTORES

La suma de dos vectores y es otro vector obtenido de la siguiente forma:

1) ponemos a continuación de , haciendo coincidir el origen de con el extremo de

2) el origen de la suma es el origen de

3) el extremo de la suma es el extremo de

Es decir, es el vector que va desde el origen de hasta el extremo de cuando hemos puesto a continuación de .

Si y , entonces . Es decir, .

Si sumamos un vector con su opuesto obtenemos un vector reducido a un punto (su origen y extremo coinciden); se trata del vector nulo o vector cero que se expresa :

+ (- ) =

PROPUESTA DE TRABAJO

Te dan los vectores

Realiza en tu libreta de trabajo las siguientes sumas:

+ , + , + , + , + , + , + y +

CONMUTATIVIDAD DE LA SUMA

SUMA DE VECTORES UTILIZANDO LA REGLA DEL PARALELOGRAMO

Si para sumar dos vectores, y , en lugar de colocar a continuación de colocamos a continuación de , tal como está hecho en la parte inferior de la figura de la derecha, observamos que el resultado es el mismo vector.

Esta construcción pone de manifiesto que la suma de dos vectores es conmutativa:

+ = +

Esta propiedad conmutativa permite realizar la suma de dos vectores utilizando la llamada REGLA DEL PARALELOGRAMO:

1) Dibujamos los dos vectores y con el mismo origen

2) Completamos un paralelogramo trazando:

- por el extremo del vector un segmento de recta paralelo al vector

- por el extremo del vector un segmento de recta paralelo al vector

3) La suma de los dos vectores es la diagonal orientada del paralelogramo obtenido

PROPUESTA DE TRABAJO

Te dan los mismos vectores que en la actividad anterior

Utilizando ahora la regla del paralelogramo, realiza en tu cuaderno de trabajo las mismas sumas de la actividad anterior

( + , + , + , + , + , + , + y + ) y compara los resultados.

ASOCIATIVIDAD DE LA SUMA

Si pretendemos sumar tres vectores, , y , tenemos dos posibilidades:

1) Sumar y , y al resultado sumarle . Esta operación se indica ( + ) + .

2) Sumar con el resultado de sumar y . Esta operación se indica + ( + ).

La figura muestra que el resultado es el mismo, es decir

( + ) + = + ( + )

Esta es la propiedad ASOCIATIVA de la suma de vectores. Gracias a esta propiedad podemos escribir + + en lugar de ( + ) + , o de + ( + ).

PROPUESTA DE TRABAJO

Te dan los mismos vectores que en la actividad anterior

Realiza en tu libreta de trabajo las siguientes sumas:

( + ) + y + ( + ). Comprueba que el resultado es el mismo.

( + ) + y + ( + ). Comprueba que el resultado es el mismo.

CONMUTATIVIDAD DE LA SUMA DE TRES O MÁS VECTORES En la actividad anterior vimos que podemos escribir + + en lugar de

( + ) + o de + ( + ). Combinando la asociatividad con la conmutatividad,

podemos escribir

+ + = + + = + + = + + = + + = ... etc.

Es decir, podemos sumar tres vectores colocándolos en el orden que queramos; siempre obtendremos el mismo resultado.

También podemos aplicar la conmutatividad a la suma de más de tres vectores:

+ + + + = + + + + = + + + + = ... etc.

PROPUESTA DE TRABAJO

Te dan los mismos vectores que en la actividad anterior

Realiza en tu libreta de trabajo las siguientes sumas:

1) + + y + + . Comprueba que el resultado es el mismo.

2) + + y + + . Comprueba que el resultado es el mismo.

SUMAS Y RESTAS DE VECTORES

La resta o diferencia entre dos vectores y se expresa - y se define como la suma del primero ellos con el opuesto del segundo:

- = + ( - )

Para dibujar la diferencia - podemos colocar - a continuación de y unir el origen de con el extremo de - .

También podemos utilizar la regla del paralelogramo para dibujar la diferencia - . Además, esta regla permite obtener fácilmente todas la sumas y restas posibles de los dos vectores y :

+ , - , - + y - -

Obsérvese que - + = - ( - ) y que - - = - ( + ) .

PROPUESTA DE TRABAJO

Te dan los mismos vectores que en la actividad anterior

Realiza en tu libreta tres construcciones como la de la actividad interactiva para obtener las siguientes sumas y restas:

1) + , - + , - y - -

2) + , - + , - y - -

3) + , - + , - y - -

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

Se define el producto de un número m por un vector como el vector que tiene:

1) dirección: la misma que

2) sentido: el mismo que si m es positivo

opuesto al de si m es negativo

3) módulo: el módulo de multiplicado por el valor absoluto de m

Si m=0 el vector es el vector nulo, un vector que tiene módulo 0 y que se indica por . Es decir, 0 = .

Resumiendo, multiplicar un vector

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