Vector De Coordenadas Y Matriz De Transición

Vector de coordenadas y Matriz de Transición

V K

A={(a_1 ) ̅,(a_2 ) ̅,(a_3 ) ̅ } Base de “V”

B={(b_1 ) ̅,(b_2 ) ̅,(b_3 ) ̅ }

El vector de coordenadas o coordenadas de un vector son los escalares que multiplican a la base para obtener el vector.

Un vector de coordenadas se obtiene por medio de una combinación lineal.

Vector de coordenadas

Vector de coordenadas (v ̅)A

v ̅=∝(a_1 ) ̅+β(a_2 ) ̅+γ(a_3 ) ̅ (v ̅ )_A=(■(∝@β@γ))

Vector de coordenadas (v ̅)B

v ̅=∝(b_1 ) ̅+β(b_2 ) ̅+γ(b_3 ) ̅ (v ̅ )_B=(■(∝@β@γ))

El vector de coordenadas es un vector único referido a una base ordenada en particular.

El orden en el que aparecen los escalares en el vector de coordenadas, corresponde al orden que tienen los vectores en la base.

Matriz de Transición

La matriz de transición se puede obtener combinación lineal.

M_B^A

Matriz de transición de la base A a la Base B

Para obtener la matriz de transición de la base A a la base B. La base A se pone como combinación lineal

de la base B.

a ̅_1=∝_1 (b_1 ) ̅+∝_2 (b_2 ) ̅+∝_3 (b_3 ) ̅ (a ̅_1 )_B=(■(∝_1@∝_2@∝_3 ))

a ̅_2=β_1 (b_1 ) ̅+β_2 (b_2 ) ̅+β_3 (b_3 ) ̅ (a ̅_2 )_B=(■(β_1@β_2@β_3 ))

a ̅_3=γ_1 (b_1 ) ̅+γ_2 (b_2 ) ̅+γ_3 (b_3 ) ̅ (a ̅_3 )_B=(■(γ_1@γ_2@γ_3 ))

〖M(t)〗_B^A=[■(∝_1&β_1&γ_1@∝_2&β_2&γ_2@∝_3&β_3&γ_3 )]

Vectores de coordenadas

Propiedades de la matriz de transición

Siempre son matrices cuadradas

Siempre tienen inversa:

[M_B^A ]^(-1)=M_A^B

Sus columnas son vectores de coordenadas

Te permite el cambio de coordenadas de una base a otra.

(v ̅ )_B=M_B^A (v ̅ )_A vector de coordenadas de v ̅ en la base B

(v ̅ )_A=M_A^B (v ̅ )_B vector de coordenadas de v ̅ en la base A

Espacios Vectoriales Asociados a una Matriz

A partir de los elementos que integran una matriz pueden definirse diversos espacios vectoriales.

Espacio Renglón L(Ar): Es el espacio vectorial generado por los renglones de la matriz A. Se puede obtener mediante transformaciones elementales, debe llevarse a la matriz A a su forma canónica. Los renglones diferentes de cero, constituirán los vectores de la base canónica de dicho espacio vectorial.

Espacio Columna L(Ac): Es el espacio generado por las columnas de A. Se puede obtener transponiendo la matriz A y llevándola a su forma canónica escalonada. Los renglones diferentes de cero, constituirán

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